求函数g(x)在[??,0]上的解析式。
【解析】f(x)?2?11111cos(2x?)?sin2x?cos2x?sin2x?(1?cos2x)??sin2x 24222222??? 2?11 （2）当x?[0,]时，g(x)??f(x)?sin2x
222 （I）函数f(x)的最小正周期T? 当x?[????1?1,0]时，(x?)?[0,] g(x)?g(x?)?sin2(x?)??sin2x 2222222??11当x?[??,?)时，(x??)?[0,) g(x)?g(x??)?sin2(x??)?sin2x
2222???1?sin2x(??x?0)??22得：函数g(x)在[??,0]上的解析式为g(x)??
1??sin2x(???x?)??22（17）（本小题满分12分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后 该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用 的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n?m道 试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试 题库中A类试题的数量。 （Ⅰ）求X?n?2的概率；
（Ⅱ）设m?n，求X的分布列和均值（数学期望）。 【解析】（I）X?n?2表示两次调题均为A类型试题，概率为
nn?1 ?m?nm?n?21（Ⅱ）m?n时，每次调用的是A类型试题的概率为p?
2 随机变量X可取n,n?1,n?2
P(X?n)?(1?p)2?X 1112，P(X?n?1)?2p(1?p)?，P(X?n?2)?p? 424n n?1 n?2 1 41 21 4P 111EX?n??(n?1)??(n?2)??n?1
424nn?1答：（Ⅰ）X?n?2的概率为 ?m?nm?n?2
6
（Ⅱ）求X的均值为n?1
（18）（本小题满分12分）
平面图形ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?4，AB?AC?2，
A1B1?A1C1?5。现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使?ABC与?A1B1C1所在平面都
与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。
。
（Ⅰ）证明：AA1?BC； （Ⅱ）求AA1的长； （Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。
【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,AO1,AO11 则AB?AC?AO?BC，面ABC?面BB1C1C?AO?面BB1C1C 同理：AO11?面BB1C1C 得：AO//AO11?A,O,A1,O1共面 又OO1?BC,OO1?AO?O?BC?面AOO1A1?AA1?BC
7
（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D?OA 得：O1D//OA?AD//OO1
OO，面A1B1C1?面BB1C1C?OO1?面A1B1C1?AD?面A1B1C1 1?BC AA1?
2AD?D2A?42?(2?1)2? 5?BC??AOA1是二面角A?BC?A1的平面角 （Ⅲ）AO?BC,AO1 在Rt?OO1A1中，A1O?OO1?A1O1?2242?22?25 AO2?A1O2?AA125?? 在Rt?OAA1中，cos?AOA1?
2AO?A1O5 得：二面角A?BC?A1的余弦值为?（19）（本小题满分13分）
K]
5。（lbylfx） 5 设f(x)?ae?x1?b(a?0) xae （I）求f(x)在[0,??)上的最小值；
（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?x3x；求a,b的值。 211a2t2?1?b?y??a?2?【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at? atatat21?b在t?1上是增函数 at1 得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b
a1 ②当0?a?1时，y?at??b?2?b
at1x 当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2
a11xx（II）f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x
aeae ①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2?? 由题意得：? 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?（20）（本小题满分13分）
x2y2 如图，F1(?c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:2?2?1(a?b?0)
ab
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的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，
a2过点F2作直线PF2的垂线交直线x?于点Q；
c（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程； （II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。
x2y2b2【解析】（I）点P(?c,y1)(y1?0)代入2?2?1得：y1?
abab2?04?0a PF1?QF2????1 ①
?c?c4?ca22a,b,c?0③) 又?4 ② c2?a2?b(cx2y2 由①②③得：a?2,c?1,b?3 既椭圆C的方程为??1
43b2?0y?0a2（II）设Q(,y2)；则PF1?QF2?a?2??1?y2?2a 2c?c?ca?cc 得：kPQb2b22a??2xcx2y2b222aa ?2? 2?2?1?y?b?2x?y??2abaaab?cb2?2x2cax??c 过点P与椭圆C相切的直线斜率k?y? 得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。
（21）（本小题满分13分）
?c?kPQ a 数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N) （I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。 【解析】（I）必要条件
当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列 充分条件
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22* 数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x1?x1?c?c?x1?0 得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）由（I）得：C?0
①当c?0时，an?a1?0，不合题意
②当c?0时，x2?c?x1,x3??c?2c?x2?c?0?c?1 xn?1?xn?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?2222222c
xn?2?xn?1??(xn?1?xn)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1)
当c?11时，xn?c??xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?1与xn?1?xn同号， 42由x2?x1?c?0?xn?2?xn?0?xn?1?xn
2 limxn?1?lim(?xn?xn?c)?limxn?c n??n??n?? 当c?11时，存在N，使xN??xN?xN?1?1?xN?2?xN?1与xN?1?xN异号 42与数列{xn}是单调递减数列矛盾 得：当0?c?1时，数列{xn}是单调递增数列（lbylfx） 4 10