dx34.试求 dt22?3dxdt?2x?0的奇点类型及稳定性.
dx解：令dt?ydy，则：dt??3y?2x.
0 因为
1?3?2?0，又由
?2?1??3?0得
2??3??2?0解之得?1??1,?2??2.
为两相异实根，且均为负
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。
35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
a?F合m(其中a为质点的加速度，F合为质点受到的合外力)解：由物理知识得：根据题意：
mdvdt
F合?k1t?k2v
故：
dv?k1t?k2v(k2?0).
即：dt?(?k2m)v?k1mt(*)
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有
V?ek2m??mdtk2(?k1mk2mt?e?k2mdtdt?c)
t?e?t(k1k2t?e?mk1k22k2emt?c).
mk1又当t=0时，V=0，故c=
k22
V?mk1k22e?k2mt?k1k2(t?mk2)因此，此质点的速度与时间的关系为：
36.求解方程
dydx?yx?y3
dx解：dy?x?yy?1ydy3?xy??y2 ，
1ydy则
x?e(?ye2?dy?c)x?y3 所以
2?cy
另外 y?0 也是方程的解
37.求方程
解：
dydx?x?y经过(0,0)的第三次近似解
2?0(x)?0x
20?1(x)???x??0(x)dx??1212x2.
x?122?2(x)???x??x0x021(x)dx??1202x5.
120x?5?3(x)???x??dydx222(x)dx??x?14400x11?1160x8
38.讨论方程
dy?y ，y(1)?1的解的存在区间
解：
y2?dx ?1y?x?c两边积分
y??1x?c. ?1x?2
所以 方程的通解为
故 过y(1)?1的解为
y?通过点 (1,1)的解向左可以延拓到??，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 (??,2). 39.求方程(解: 利用
pdydx)?y?1?0的奇解
22判别曲线得
?p2?y2?1?0?22p?0y?1 即 y??1 p? 消去得
所以方程的通解为 y?sin(x?c) , 所以 y??1是方程的奇解
40.求解方程 (cosx?1y)dx?(1y?xy2)dy?0
?M?N?2?M?2?N解: ?y=?y, ?x=?y , ?y=?x , 所以方程是恰当方程.
1??u?cosx????xy??v1xx???2u?sinx???(y)?yyy??y 得 . ?u?y??xy?2??(y)' 所以sinx?xy?(y)?lny
?lny?c故原方程的解为
.
41.求解方程 y'?y2?2ysinx?cosx?sin2x
解:
y??y?2ysinx?cosx?sin'22x 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
y?sinx ,令y?z?sinx ,
dz??z2则方程可化为dxy?sinx?z?1x?c .
1x?c .
,
1即
x?c , 故
y?sinx?42.求解方程 (2xy解: 两边同除以
2xdx?3ydx?y22?3y)dx?(7?3xy)dy?0
32得
dy?3xdy?07y2 .
dx2?d3xy?d7y?0. 7y?cx?3xy?2所以
, 另外 y?0 也是方程的解 .
43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y?y
dy?dzdx?dydy?p(x)y?q(x)y?r(x)2令 y?z?y , dxdzdx2dx 又 dx
dydx .
dz?p(x)z?2p(x)y?q(x)z2?p(x)(z?y)?q(x)(z?y)?r(x)?dy由假设 dx?p(x)y?q(x)y?r(x)2 得 dx??
此方程是一个n?2的伯努利方程,可用初等积分法求解 .
44.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程
dydx?P(x)y?Q(x) , 当P(x) , Q(x)在??,??上连续时,其解存在唯一
证明: 令R : x???,?? , y?R
P(x) , Q(x)在??,??上连续, 则
f(x,y)?P(x)y?Q(x) 显然在R上连续 ,
??因为 P(x) 为?,?上的连续函数 ,
故即 P(x)??在?,?上也连续且存在最大植 , 记为 L
P(x)?L??,?? . , x?f(x,y1)?f(x,y2)?P(x)y1?P(x)y2P(x)y1?y2?Ly1?y2?y1y2?R, =
??,??上连续时,其解存在唯一 因此 一阶线性方程当P(x) , Q(x)在
45.求解方程
xdy?(y?xy)dx?024
解：所给微分方程可写成
(xdy?ydx)?xydx?0 即有 d(xy)?xydx?0 .
d(xy)?1x22424上式两边同除以(xy)，得 (xy)?44dx?0
?1x?c113(xy)3由此可得方程的通解为
即
46.求解方程
y?p2
1?3xy23?cxy33 (c??3c1) .
?2p3
解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有
p?(2p?6p)2dpdx
（1） 当p?0时，由所给微分方程得y?0； （2） 当dx?(2?6p)dp时，得x?2p?3p因此，所给微分方程的通解为
x?2p?3p22?c。
?c，
y?p2?2p3 （p为参数）
而y?0是奇解。
47.求解方程x?4x?4x?e?e'''t2t?1
2??2解：特征方程??4??4?0，1,2，
故有基本解组e，te2t2t，
t'''tx(t)?Ae对于方程x?4x?4x?e，因为??1不是特征根，故有形如1的特解，
将其代入x?4x?4x?e，得2Ae
'''2t2t?e2tA?12，
，解之得
'''x(t)?A对于方程x?4x?4x?1，因为??0不是特征根，故有形如3的特解，