将其代入x?4x?4x?1，得
x(t)?e2t'''A?114，所以原方程的通解为
(c1?c2t)?e?t12te22t?4
'48.试求方程组x?Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中
??2A????1?1??2??
3解：p(?)?det(?E?A)?0，?1?，?2??3，均为单根，
????,??0
??v1???(2?3)??v(?E?A)v?0?1设1对应的特征向量为1，则由1，得
11????????v1??v?2??2?3?2?3?????， 1取，同理可得对应的特征向量为
则?1(t)?e3tv1，?2(t)?e?3tv2 ，均为方程组的解，
令?(t)?(?1(t),?2(t))，
w(0)?det?(0)?12?312?3??3?0又，
e3t?3t?3t3t?e??(2?3)e?(t)所以即为所求基解矩阵?(2?3)r????。
?dx?dt?x?y?1?dy??x?y?5dt?49.求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性
?x?y?1?0?x?2??x?y?5?0y??3解：令?，得?，即奇点为（2，-3）
?dX?dt?X?Y??X?x?2dY??X?Y?Y?y?3令?，代入原方程组得?dt，
11?1因为
1??2?0??1?1，又由
?1??1??2?2?0，
解得?1?
dy2，?2??2为两个相异的实根，
所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。
50.求方程dx解：
?x?y2经过（0，0）的第二次近似解 ， f(x,0)dx?12x2?0(x)?0x?1(x)?0??0x， 12x?2?2(x)?0?
?0f(x,12x)dx?2120x5。
假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组 x?Ax?ce有一解形如
?(t)?pe其中c，p是常数向量。
51.证明: 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组 x?Ax?ce有一解形如
'mt'mt
mt
?(t)?pe 其中c，p是常数向量。 证：设方程有形如事实上，将因为emtmt
?(t)?pemt的解，则
mpemtp是可以确定出来的。
mtpemt代入方程得
?Ape?cemt，
?0，所以mp?Ape?c，
(mE?A)P?c （1）
又m不是矩阵A的特征值，det(mE?A)?0 . 所以(mE?A)?1存在，于是由（1）得p?(mE?A)?1mt?1c存在。
故方程有一解?(t)?(mE?A)ce 52.求解方程
2?pemt
(y?3x)dx?(4y?x)dy?2
解：?3xdx?(ydx?xdy)?4ydy?0 .
d(?x)?dxy?d(2y)?032 .
故方程的通解为
53求解方程
?x?xy?2y32?c .
ydx?xdy?(x2?y)2
ydx?xdy解：两边除以
y2：
y2??x?2?????y???1?dx?????? .
??x?2?xd???????1?dx???y?y??
xdy?dx2?x??????1y变量分离： ?? .
arctgxy?x?c两边积分：
x
即：
54.求解方程
y?tg(x?c) .
y(y'?1)?(2?y')
2解：令2?y'?yt,则y'?2?yt 于是
y(2?yt?1)?(yt)22
y?1?tt2 得 .
22 y'?2?yt?2?(1?t)?1?t
dy?1?t2 即 dx………………….4分. 1?tt22dx?dy1?t2d??t?2?122t
1?t1t1?tdt??1t2dt
x??c 两边积分
1?x??c??t?21?t?y??t于是，通解为? .
.
55.求解方程
dydydx?yx?exy
xy解：dx?exy?xy?xe?yx
xdy?(xexy?y)dxxy .
xdy?ydx?xedxy?xexydxdx
dxyexy?xdx .
?e?xy?12x2?c积分：
1x2
?xy故通解为：2
56.求解方程
?e?c?0 .
x''?6x'?5x?e2
2解：齐线性方程x''?6x'?5x?0的特征方程为??6??5?0，
?1??1,?2??5，故通解为x(t)?c1e?t?c5t2e? .
??2不是特征根，所以方程有形如x(t)?Ae2t
把x(t)代回原方程 4Ae2t?12Ae2t?5Ae2t?e2t
A?1
21 . x(t)?c?5t1e?t?c12t于是原方程通解为2e?21e .
57.求解方程
x''?x?1sin3t
解：齐线性方程的特征方程为?2?1?0，解得???i于是齐线性方程通解为x(t)?c1cost?c2sint 令x(t)?c1(t)cost?c2(t)sint为原方程的解，则
??c1'(t)cost?c2'(t)sint?0????c'(t)sint?c112'(t)cost?sin3t c1'(t)??1得
sin2tc2'(t)?cost，
sin3t . c112(t)??积分得；
c
2sin21(t)?ctgt?r1t?r2
x(t)?cos2t?r故通解为
sint1cost?112sint?r2sint .
58.求解方程
x''?12x'
dy解：x'?yx''?y 则
dx .
.