1ydy??3?3y??x?c?1从而方程可化为
dx2y，
?2?， 1x'??3?3?x?c?2?? .
1y???3x?c?3积分得
?2?? .
59.求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性
dxdt?2x?7y?19,dydt?x?2y?5
?2x?7y?19?0?x?1?解：解方程组?x?2y?5?0?，解得?y?3
所以（1，3）为奇点。 令X?x?1,Y?y?3
dX?2X?7Y则dt
dYdt?X?2Y
A?2?71?2?0而， p(?)??E?A???272?1???3?0令
??2，得???3i
?1,?2为虚根，且??0，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。
60.求解方程
ydx?(x?y3)dy?0
?M?N?y?1,?x??1解：因为
，所以此方程不是恰当方程，?(y)?e?2?ydy?e?lny2?1y2，
方程有积分因子
1两边同乘y2dx得
y?x?yy23dy?0
?所以解为
x????x?y31ydx????2y?yy???y2???dy?c??? .
xy
?2dy?c2x?y(y?c)另外y=0也是解 .
即
dydx3261.求解方程dx()?4xy3?8y?0
2?dy?2???8y?dx?32x?p?8ydydyx??p4y4ypdx解：方程可化为令dx则有（*）
2y(p?4y)（*）两边对y求导：
32dpdy?p(8y?p)?4yp .
1232(p?4y)(2y即
32dpdy?p)?0由
2ydpdy?p?0得
p?cy2y?(即
pc)2将y代入
x?（*）
c24?2pc2 .
2?c2px???2?4c??y?(p)2?c即方程的 含参数形式的通解为：? p为参数
1又由
p?4y?032得
p?(4y)32y?代入（*）得：
427x3也是方程的解
62.求解方程x???x?sint?cos2t
解：线性方程x???x?0的特征方程??1?0故特征根???i .
2f1(t)?sint
??i是特征单根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方程
1A=-2 B=0 .
f2(t)??cos2t??2i 不是特征根，原方程有特解x?Acos2t?Bsin2t代入原
A?方程
13 B=0
x?c1cost?c2sint?12tcost?13cos2t.
所以原方程的解为
dy63求方程dx?x?y2经过（0，0）的第三次近似解
?0?y0?0?1?y0?解：
?0xxdx?xxx42244?2?y0??3?y0?
?0(x??0(x?xx)dx??x10x22??x7x5
20)dx?x24400202?x520?x114400?x8160?2A????164.若
p(?)?解：此时 k=1
1???1??(t),?(0)??????4???2?并求expAt 试求方程组x??Ax的解
?11
??2??4???6??9?0解得
2?1,2?3 .
n1?2?1ti????1?3ti?1?3t?????v?(t)?e??(A?3E)????e?2??i?0i!??2???
?tn?1i??1?t(??1??2)?????t(????)?212?
e由公式expAt=
?i!i?0t(A??E)i得
expAt?e
3t?E?t(A?3E)??edydt3t??1????00???11??3t?1?t??t????e?1???11????tt??1?t?
dx65.求dt??x?y?1,?x?y?5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
??x?y?1?0?x?y?5?0解：由?解得奇点（3，-2） . ?dx??x?y??dt??dy?x?y?令X=x-3,Y=y+2则?dt .
?1因为
?1?1=1+1 ?0故有唯一零解（0，0）
1??1由
稳定焦点。
1?1??1 ?f???2??1?1???2??2?0得???1?i故（3，-2）为
22设f(x,y)及?y连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.
dy证明：1 若该方程为线性方程则有dx?p(x)y?Q(x)（*）此方程有积分因子
?p(x)dx?(x)?(x)?e? 只与x有关。
2 若该方程有只与x有关的积分因子
?(x)则
?(x)dy??(x)f(x,y)dx?0f)x(y?,?)d)dx
为
?(??x(恰
当
方
程
,从
而
?y?fx(??(x))???y?(x)
f???
??(x)?(x)dy?Q(x)?p(x)y?Q(x)其中
p(x)????(x)?(x)于是方程化为
dy?(p(x)y?Q(x))dx?0即方程为一阶线性方程