举出了反例，而图平定理是可以证明的真定理。逻辑地，图平定理表达的应该是勒夫陈述的反面或否定。有趣的是，正是从图平定理出发，本文附录B否证了勒夫陈述，或一般的圣维南原理。图平把他的工作称作是“圣维南原理的证明”，是过于牵强了。
为了从数学的角度进一步说明勒夫陈述是个假命题，本文还在附录B给出了又一个有关图平问题的圣维南原理的否证。
图平理论没有证明圣维南原理，也就是说，图平定理不是应力、应变或应变 能密度随离开平衡力系外载荷的距离衰变的定理，也没有给出无限远处应力、应变或应变能密度极限为零的公式。如果我们放松要求，按照图平的思想，采取“平均应力的某个恰当的度量”，以积分或平均值作为度量，图平理论也是不合格的，因为由图平定理推不出诸如横截面能量积分、能量密度面平均值、能量密度平均值之类的圣维南型衰减。用图平定理作逐点估计，无论是直接应用还是结合其它作者的结果（其他作者的结果将在第 9 节给出），都存在不可克服的困难。
必须指出，图平理论还存在着自身的困难。图平定理选取了一个极端的、最大衰减率的解而避开了不利的解，因而定理是不能覆盖能量衰减率谱的，也是不客观的，图平理论不是一个严格的数学理论。本文附录B给出了完全覆盖能量衰减率谱的图平定理，该定理告诉我们，能量衰减的最重要的原因是储能体积的递减。
涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录B中给出。
9. 其它作者结合图平定理发展的逐点估计、本文对各种逐点估计的评述 应用图平定理，一些作者给出了逐点估计的公式，在此集中讨论。
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9.1 Flavin 提出的逐点估计的公式 9.1.1 Flavin
[18,19]指出，图平定理对下面的柱体问题仍然成立：柱体的侧面是曲
面而且固定 (ui?0)， 近端（s?0）加载的力系不一定是自平衡力系，远端 （ s?L）满足的条件使得
(n)tiui?0 , ?0(l)/2?理解为高为l、侧面为曲面
且固定、端面自由的柱体片段的最小自由振动频率。他给出了柱体中位移梯度的 逐点估计的公式：
up,q(o)?CKU(s?a)?ma3 (9.1)
式中 up,q 是 完全包在柱体中的半径为a、以距离 s 远离加载端的球体的中心
O点的位移梯度；U(s) 是超越距离 s 的柱体部分的应变能，用图平定理1表
示。.
9.1.2 本文认为Flavin估计的主要困难在于（9.1）式没有覆盖柱体部分 （L?a?s?L）（在该域中没有定义），因为用来作估计的球体要求完全包在柱体当中。 如果 a 取常数值，我们得不到任何关于这有限部分柱体的知识。 如果 a 为变量且a?0，对有限长柱体当 s?L时位移梯度将趋于无穷，对无限长柱（9.1）式为不定式，位移梯度不能确定。 9.2 Horgan 和 Knowles 提出的逐点估计公式 9.2.1 Horgan 和 Knowles
[14]在近端（s?0）加载、其余边界自由的各向同性柱
体内建立了一个应力逐点估计的公式 tij(x1,x2,s)?式中
?(?)?min(1,1?2?1??),(?1???12)30?(??(?))1/2d?3/2[U(s?d)?U(s?d)]1/2 (9.2)
,
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tij(x1,x2,s) 是柱体内 (x1,x2,s)点的应力，? 是剪切模量, d是点 (x1,x2,s)到
柱体边界的距离，U(s) 是超过距离 s 的柱体部分的应变能。和图平定理1或者Berdichevskii 的结果（见后）相结合，认为（9.2）给出柱体内的应力逐点估计。
9.2.2本文认为，（9.2）式中应力要取实数值，需要条件
U(s?d)?U(s?d)?0
(9.3)
如果用图平定理1来表示U(s),条件 (9.3) 是不能保证的，因为（7.7）式中含有不等式。如果认为 (9.3)式 总是为真，那就等于承认储能体积的递减是图平定理中的能量U(s)衰减的唯一原因。 9.3 Roseman提出的逐点估计公式
9.3.1 Roseman[20]推导出一个柱体内的应力逐点估计的公式。该公式不仅适用于柱体内部，而且适用于柱体边界，表达为（也见 [14]）：:
tij(x1,x2,s)?M(??(?))1/2??3/2[U(s??)?U(s??)]1/2 (9.4)
式中 M和 ? 为两个普适的正常数，仅仅取决于横截面的几何形状和参数，而与载荷、物理常数 ? 和 ?、柱体长度以及点的坐标(x1,x2,s)无关。这些特征使得 (9.4)式 区别于 (9.2)式。（9.2）式的d 依赖于 (x1,x2,s)而且只对柱体内点适用。据作者称，和图平定理1结合，（9.4）式对柱体全域给出应力的逐点估计。 9.3.2本文认为，严重的困难在于 U(s??) 在域 L???s?L没有定义。而如果由于数学不确定性U(s??)取任意值，（10.4）式不能保证 tij(x1,x2,s) 取实数值。
如果要导出
limtij(x1,x2,s)?0 (9.5)
s???必须从图平定理以外借用关于柱体行为的假设， 比如
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U(s??)?0 (9.6) , (9.7)
或 0?U(s??)?U(0)e?(s???l)/sc(l)式中 L???s?L。然而，无论采用两个假设中的哪一个，都必须使柱体延伸得比L要长。
10. Berdichevskii定理：
Berdichevskii在文[13]中的思想是要推广图平等截面柱体能量衰减的定理。他 研究了笛卡尔坐标系中的任意形状、几何线形、非均匀、各向异性、物理非线性 的弹性体(x1,x2,x), 物体x?0 无限延伸部分自由， x?0有限大部分加载。用
?(x)表 x?const处的有界横截面，它把物体分成两部分，x以远部分的体积域
用 V(x)表示。令能量泛函为 E(x)??UV(x)ddxdxdx12 （10.1）
其中Ud是应变能密度，E(x)是x以远的体积V(x)中的应变能。再令 ??inf(?Uddx1dx2/Pi?Uddxdxdx)V(x)12 (10.2)
?(x)（式中?取下确界值考虑到表面载荷 pi的所有可能的值）， Berdichevskii证明了能量衰减定理
x(??(x)dx),(x?0), (10.3) E(x)?E(0)exp?0 Berdichevskii的证明如下：事实上，由(10.2)有 ?(x)E(x)?利用公式
?Uddxdx?(x)12 (10.4)
12dE(x)dx? ? ?U?(x)ddxdx (10.5)
和 (10.4) 得到
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?(x)E(x)?由(10.6)导出(10.3)。
dE(x)dx?0 (10.6)
由于讨论的弹性体的几何形状和物理性质，Berdichevskii定理被看作是图平 定理的推广。
Berdichevskii其后推导了常数b和bn，并推导出用b和bn对?进行估计的公 式。然后对杆估计了常数bn，用bn估计了均匀各向同性半无限圆截面杆的能量 衰减率，以及锥形体的能量衰减率。 11.本文对Berdichevskii定理的评论
本文认为，Berdichevskii定理是从普适的方程导出的，因此是成立的。但是 Berdichevskii 理论并没有证明圣维南原理，因为定理独立于圣维南原理所规定的特殊条件（由勒夫陈述表述）之外，所以Berdichevskii 定理太一般以至于和圣维南原理的表达这个特殊问题无关。事实上，赵建中[21]指出Berdichevskii定理对悬臂梁问题的解[22]成立，而悬臂梁的能量密度是递增的。而且，当x?l时，能量衰减率?1??.
Berdichevskii 定理是图平定理的推广，正因为如此它就比图平定理更难和圣维南原理发生联系。Berdichevskii 理论也不是一个严格的数学理论，存在着许多随意性的处理。尽管如此，(10.1)、（10.2）和(10.5)式以及定理的证明比图平理论更为清楚地暴露出，图平能量衰减的本质原因在于储能体积的递减，而不在于能量密度的衰减，从而客观上为我们理解图平能量衰减的本质提供了有益的启示。
同样有趣的是，类似于图平定理，由Berdichevskii 定理可以否证一般的圣维南原理。
涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录C中给出。
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