U1(z)?U1(0)e?2kz (14.18)
以及二阶能量衰减。
15.本文对Knowles方法的评论 本文认为，Knowles方法的特点是：
(1) 方法建立的是图平型能量衰减而不是圣维南型能量密度衰减。 （2） 方法处理离散的能量衰减率谱而不是连续的能量衰减率谱。
（3） 方法应该给出Phragmen-Lindelof 型定理。在14节举的例子中，由（14.7）
式可以选择? 和 ??，也就是（14.9）不等式对? 和 ??都成立。于是问题应该有能量衰减定理和能量递增定理两个解。Knowles排除了能量递增，理由没有交代。本文作以下分析：
（A）如果以能量衰减为预设条件来排除能量递增，那Knowles是以能量衰减为前提来证明能量衰减，是一种循环论证。或者讨论的是这样的问题：如果能量是衰减的，衰减不等式采取什么形式？显然这不是一种证明。
（B）如果以能量衰减为认定事实，认为能量递增是不合理的增解，那就意味着储能体积的递减是能量递减唯一可能的解释。
Knowles 方法的另外两个实例Knowles 和 Sternberg
[25][24] 以及 Knowles
进一步显示出圣维南型衰减和图平型衰减的区别以及Knowles方法的特点
和问题。附录E给出对这两个实例的评论细节。 16. Horgan 和 Knowles
[14?16]的综述
Horgan 和 Knowles以及Horgan单独跟踪圣维南原理的发展历史分三个阶段作了综述，现分别把三篇文章的主要内容作一简介。
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16.1.有关文[14]的简介
Horgan 和 Knowles在前言中对圣维南原理的历史从圣维南的工作和研究报告直到图平1965年的工作作了简介，然后说：
“与这些弹性理论中的和圣维南原理有关的问题类似，在数学物理的其他分支也有可能提出相应的问题。自1965年以来引入的许多思想和技术在由拉普拉斯方程控制的流动基本问题的背景中找到了其最简单的表达，本文第二节给出了这种简单设定情况下这些思想和技术的详细的陈述。严格的（区别于诸如壳的近似理论的）线性弹性理论框架内的圣维南型的若干原理是第三节讨论的问题。第四节讨论和圣维南原理其他方面有关的工作，比如非线性的影响、二维弹性薄壳理论中出现的一些特殊现象、热扩散或瞬变热传导问题中的圣维南原理、以及对粘弹性材料的推广。在讨论的过程中，特别是在第三节和第四节，我们将指出一些未解决的问题。
存在着圣维南‘问题’的若干方面，这些方面有别于我们观念中的圣维南‘原理’，正在受到关注，然而我们这里并不打算进行综述。方面之一是处理圣维南解的最小能量（或相关量）的特征化（比如Shield 和Anderson，1966；Sternberg 和Knowles， 1966； Maisonneuve，1971；Ericksen，1980）。问题之二关注Trusdell （1959，1966，1978）提出的柱体端面外力的改变对适定的扭转模数的影响问题，这些问题中柱体端面外力在产生给定扭矩的限制范围内变化。最后，虽然我们确实对处理非线性对应力衰减的影响的某些结果作了评述，但是我们确实没有考虑圣维南柱体问题原型在有限弹性力学中的等效形式（见Ericksen，1977ab, 1979；Muncaster，1979）。”
就是在这篇综述中，Horgan 和 Knowles提出了模型问题（柱体中的流动问
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题）并进行了讨论。 16.2.有关文[15]的简介
Horgan在文中再一次讨论了文[14]中提出的模型问题，不过这次讨论的是二维的模型问题，称之为“拉普拉斯方程的模型问题（A Model Problem for Laplace’s Equation）。
其后，Horgan对1981年以后圣维南原理的进展按问题分类地进行了综述。这些问题是：各向同性材料的平面形变、各向异性材料和复合材料的平面形变、三维问题、非线性效应、时间相关问题。
在结语中，作者称：“本文中我们试图考察自1981年以来在各种不同背景下涉及圣维南原理所取得的主要进展。虽然在这段时间中取得了不可忽视的进步，但是很显然，在Horgan 和 Knowles的综述文章（HK 1983）中所提出的许多未解决的问题，仍然没有得到完全的解决。于是，从物理和数学两方面的观点来完全地理解各个分支领域的圣维南原理，仍然是一个非同小可的挑战。” 16.3.有关文[16]的简介
Horgan 在文[16]的前言再次回顾了图平等人的工作，他说：
“因为线性弹性力学的许多问题的精确解不可能得到（非线性弹性力学的问题更多），因而成功地发展了定量的论证结果来提供应力衰减率的估计值。这类形式的早期结果中最著名的是图平（1965）对三维线性弹性柱体问题的能量衰减估计和Knowles （1966）对线性平面弹性力学的能量衰减估计。所有这些结果至少预测了应力的指数衰减，提供了衰减率的估计值，是实际衰减率的下界。其中许多二阶椭圆型方程的衰减率估计值和实际衰减率吻合，就这个意义而论，这些结果是令人满意的(optimal)。在上面所列的以前的综述（指HK，1983 和H，1989
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等，本文注）中已经详细地讨论了前面所述的结果，同时讨论的还有Berdichevskii（1975）对柱体问题的进一步的结果……。”
Horgan 在举出1995年以前的若干作品以后说：“在上面举出的大多数研究中，解的空间衰减是在对远离载荷边界的衰减提出某些先验的假设条件下进行考察的。这些假设在研究圣维南原理时是自然存在的。近期已经有一些关注到在不提出任何此类假设的情况下建立渐近行为的文章（略），通常得到递增和衰减两种形式的结果，因而这些结果是Phragmen-Lindelof型的，对非线性问题具有特别的意义。”
文章评述了自Horgan 和 Knowles（HK，1983）和Horgan（H，1989）综述以后的进展：“我们（在第二节）从二阶线性椭圆型偏微分方程开始，方程中系数可变，定义在二维区域。这类方程出现在非均匀、各向异性材料的稳态热传导理论中，也出现在线性非均匀各向异性固体的反平面（anti-plane）剪切形变理论中。特例包括常系数方程以及不包含混合偏导数的以散度形式表达的方程。进一步的特殊化（specialization）导致拉普拉斯方程，该方程在HK和H中以模型方程为例得到应用。在一种特别简单的设定背景下，对圣维南原理的分析提出了若干相关的问题。对于此处关注的更为一般的方程，我们简略地描述了圣维南原理，以及方程与Phragmen-Lindelof型圣维南原理的联系。此后，作为特例讨论了半无限条带区域，在无限长边界上设置了齐次边界条件（对应无外力情况）。首先考虑了常系数的情况，Horgan 和Payne （1993c）建立了空间衰减估计，此例中的估计衰减率是令人满意的(optimal)。然后，该结果特别用于纤维强化合成材料的模型——强各向异性材料。在此一特别简单的情况下，显示出由各向异性引起的端面影响的延伸。本节中也汇集了一些变系数的非均匀问题的结果，这些
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结果使我们可以就反平面剪切问题中非均匀和各向异性对圣维南端面效应的衰减的影响作出评估。第三节大致地总结了均匀弹性体的平面弹性力学问题中各向异性对应力衰减的影响的类同结果。这些结果的详细评述最近由Horgan 和Simmonds （1994）作出。第四节广泛地讨论了各种非线性问题，提供了非线性弹性静力学中圣维南原理的数学表达和数学分析的若干结果的综述，给出了二阶准线性和半线性偏微分方程的更一般的衰减结果，评述了稳定纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的空间衰减估计及其对入流问题（entry flow problems）的应用。第五节简述了瞬变问题空间衰减的一些结果。”
以下我们将以问题分类对有关圣维南原理的工作进行评述，强调圣维南型衰减和图平型衰减的区别和不一致： 17. 线性弹性力学二维问题
17.1 （1）Knowles[23]用他的方法处理一个线性弹性力学二维问题， Horgan 和Knowles[14] 重述了主要的结果。Horgan 和Knowles[14]表达的问题是 ????0onR (17.1)
边界R的远区C0自由，以至于 ???,1??,2?0式中 ? 是 Airy 应力函数。令 l?maxx1C0onC0 , (17.2)
, h?maxx2C0 (17.3)
(17.4) (17.5)
和 E(z)???,???,??dARz(0?z?l),于是 E(z)?2E(0)e?2kz式中 k?
(0?z?l),?h(2?12)1/2?1.4h. (17.6)
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