F(z)?F(0)exp?[kz] . (18.8) 18.12 Chirita 和 Ciarletta[45] 讨论了均匀各向异性线性弹性材料构成的棱柱体问题，发表了四个定理。第一个定理对单斜晶体构成的满足所设远端位移边界条件的有限长柱体或先验条件下的半无限长柱体给出横截面位移测度I(x3)的衰减定理
I(x3)?I(x0)e?kx,13x3?0
. (18.9)
第二个定理在先验假设下对单斜晶体构成的、有限长柱体的、由位移和位移的梯度表达的横截面测度k1(x3)给出了衰减定理，又在先验假设下对单斜晶体构成的、半无限长柱体的、和位移相关的“能量”?1(x3)给出了图平型衰减定理。第三个定理对横向各向同性弹性材料构成的、有限长柱体的、由位移和位移的梯度表达的横截面测度kk(x3)给出了衰减定理，又在先验假设下对单斜晶体构成的、半无限长柱体的、和位移梯度相关的“能量”?k(x3)给出了图平型衰减定理。第四个定理在先验假设下，对半无限长柱体的kk(x3)给出衰减定理。 19. 非线性问题 Horgan 和 Knowles
[14]指出，在有限弹性理论背景下讨论圣维南原理具有
[15]新的不同于线性理论的特点。Horgan 理的复杂性。Horgan
[16] 重述了非线性弹性力学讨论圣维南原
对文[14，15]中提出的问题进行了评论，指出非线性弹
性理论讨论圣维南原理需要“谨慎而仔细地表明圣维南解的特征”。本节将对非 线性问题的一些结果进行评述。 19.1 Roseman
[46]讨论了非线性弹性平面问题的圣维南原理。在假设所有位移分
量直至4阶的偏导数一致有界且界限足够小的条件下表达了应变范数的圣维南 型衰减。
36
19.2 Breuer和 Roseman
[47]在类似于文[48]的条件下对三维非线性弹性问题给出
了应力和应变的圣维南型衰减。
19.3 Knops 和 Payne[48] 考虑了均匀的、非线性弹性物质所构成的半无限长柱问 题， 在三条假设下分别证明了应力边值问题和位移边值问题的、在柱体横截面 上所作的位移L2积分的衰减定理。
19.4 Horgan 和 Payne[49]的研究涉及二维二阶准线性偏微分方程，讨论了 Dirichlet 和 Neumann 问题，在先验假设
u,u,??0(uniformlyinx2)asx1??. (19.1)
条件下建立了二次“能量”积分的图平型衰减，并用一阶和高阶“能量”表达了横截面估计和逐点估计。
19.5 Horgan 和 Payne[50]考察了一类三维二阶准线性方程的Dirichlet 问题。根据 作者所言，为简化论证所提出的先验假设为
u,?u/?x3?0(uniformlyinx1,x2)asx3??. (19.2)
两种情况或两个假设提供了更多的约束条件。对第一情况（Case 1）建立了通常能量的图平型衰减, 对第二情况（Case 2）建立了s能量的图平型衰减。对两个情况都给出了L2估计。
19.6 Galdi、 Knops 和 Rionero[51]研究了非线性弹性柱体的位移的渐近性质。在 假设条件下证明了两个位移平方在柱体横截面上的积分的衰减定理。 19.7 Vafeades 和 Horgan[52]关注定义在半无限长条带的 von Karman 方程的解 的衰减估计。在先验假设下证明了第一图平型衰减和改进的图平型衰减。论证中 对不等式
???4k??E21/2u(0)?4k2??0 , (19.3)
37
只取了等式进行讨论，以便得到最大的? 值并排除（20.3）式中?的可能的零值和负值。
19.8 Horgan 和 Payne
[53]涉及定义在矩形平面域的二维二阶非齐次准线性偏微
分方程的解的渐近行为。矩形的长度大大超过它的宽度。文章分析了方程的 Dirichlet 问题并在先验假设的前提下就两种情况建立了“能量”的图平型衰减。 19.9 Horgan 和 Payne[54]在非线性弹性力学平面问题理论背景下对“加权能量” 二次泛函给出图平型衰减。讨论中假设位移梯度为小量，应力-应变关系为非线 性。
19.10 Flavin等[55]考虑了定义在半无限长的柱体域的半线性椭圆形方程，并得到 经典Phragmen-Lindelof定理的非线性类比。在柱体侧面分别设置齐次的 Dirichlet 和 Neumann 边界条件，但在柱体基底以及远离基底的地方没有设定边 界条件。在相应的假设条件下分别证明了解的、能量测度的以及横截面能量流测 度的 Phragmen-Lindelof 型定理。 19.11 Breuer 和 Roseman
[56?58]、Horgan[59] 以及 Horgan 和 Olmstead
[60]在
先验假设条件下对建立非线性问题的解的圣维南型衰减作出了贡献。 20. 反平面剪切形变（Anti-plane Shear Deformations） 20.1 Horgan 和 Knowles
[61] （又见文[16,37]) 对柱体有限反平面剪切形变建
立了圣维南型衰减，柱体的横截面是半无限条带。作者证明了，沿条带平行边的 非零剪切应力分量偏离对条带所取的平均值，偏离值以距端面的距离的指数衰减 函数表达。论证采取的先验假设为
u,1(x1,x2)?k , u,2(x1,x2)?0uniformlyasx1??,
in x2, 0?x2?h. (20.1)
38
20.2 Horgan 和 Payne
[62](又见文 [16,37])用能量法处理文[63]有限反平面剪切
形变的类比问题，对用形变场和简单剪切之差定义的似能量型二次泛函给出图平 型衰减定理。 20.3 Horgan 和 Payne
[63] (又见文 [16,37])关注弹性本构方程的小扰动对非线
性反平面剪切形变场的影响，对半无限长条带的 Dirichlet 和 Neumann 边值问 题在先验假设
v,v,1?0(uniformlyinx2)asx1?? (20.2)
条件下建立了图平型能量衰减。 20.4 Horgan 和 Payne
[36] (又见文 [16,37])证明了一个 Phragmen-Lindelof 型
定理，对定义在二维半无限长条带的二阶线性椭圆型偏微分方程的解提供了增长 率和衰减率的估计。该方程源自非均匀、各向异性材料的稳定态热传导理论，也 出于线性化的、非均匀、各向异性弹性固体的反平面剪切形变理论。又见18.4 节。 20.5 Horgan
[37] 在线性和非线性固体力学背景下对反平面剪切模型及其应用的
发展进行了评论。
20.6 Horgan 和 Payne[64]、Borrelli 等[65] 分别建立了反平面剪切形变的图平型 能量衰减。
20.7 在先验假设条件下，下列作者为建立反平面剪切问题的圣维南型衰减作出 了贡献： Horgan 和Abeyaratne
[66]、Horgan 等[67]、Stephen 和Wang[68]、Scalpato
[70]和 Horgan[69] 、 Chan 和Horgan 21. 管道中的流体流动问题 21.1 Knops 和 Lupoli
[72] 以及 Horgan 和 Quintanilla[71] 。
对沿半无限长条形管道流动的不可压缩粘性流体的平
39
面斯托克斯流动（plane Stokes flow）的端头效应作了估计。管道侧面流体速度 为零，对非定常流动设置与时间有关的端头流体速度，初始速度为零。作者证明 了两个Phragmen-Lindelof 型定理，分别对定常流动和非定常流动问题描述了横 截面（线）能量流测度和高阶能量或无界或衰减的条件。高阶能量的衰减属图平 型能量衰减。
21.2 下列作者对流体流动问题建立了图平型衰减：Horgan[73]、Horgan 和 Wheeler
[74]、 Ames 和Payne[75]、Ames、 Payne 和 Schaefer
[78][76]、Chadam 和
Qin[77]、Payne 和Song 22. 热传导问题
、Song
[79,80] 以及 Lin 和 Payne
[81]。
是Boley[82,83]首先把圣维南原理应用于抛物型热传导方程。其后的工作有： 22.1 Knowles[84]对Edelstein[85]讨论的热传导方程提供了与时间无关的图平型衰 减率。.
22.2 Horgan、Payne 和 Wheeler[86]处理三维柱体的热传导初边值问题，柱体边界 条件只在端面上非零。在Dirichlet 和Neumann边界条件下给出解的横截面均方 估计。
22.3 Payne 和 Song[87]对定义在半无限长柱域的广义热传导问题给出 Phragmen-Lindelof 型定理，其能量衰减为图平型能量衰减。
22.4 Quintanilla[88]揭示了双曲型热传播方程的图平型能量衰减，其结果类似于已 知的有关抛物型方程的解的估计，并推广到一类半线性波动方程。 22.5 Horgan 和 Quintanilla
[89] 处理非均匀各向同性热传导固体中材料非均匀
性对端面效应的空间衰减的影响，在泛函渐近行为的先验假设下提供了问题的解 的加权均方估计。
40