23．（2012山东济宁10分）如图，抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP=BD?BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．
2
2
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点
2
?1?16a+4b?4=0?a=∴?，解得?2。 ?4a?2b?4=0??b=?1∴抛物线的解析式为y=x2?x?4。 （2）设点P运动到点（x，0）时，有BP=BD?BC，
在y=x2?x?4中，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）。 ∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC。∴
2
1212BDBP。 ?BCBA∵BC?BC2?OC2?22?42?25，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2 ∴BD25?x+25，即BD??x+2?。 6322
∵BP=BD?BC，∴?x+2??54?x+2??25，解得x1=，x2=﹣2（不合33题意，舍去）。
∴点P的坐标是（
4，0）。 3- 1 -
∴当点P运动到（
42
，0）时，BP=BD?BC。3
2
24．（2012滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
2
考点：二次函数综合题。
2
解答：解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax+bx+c中，得
解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x+x．
（2）由y=﹣x+x=﹣（x﹣1）+，可得
2
2
2
- 2 -
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB=因此OM+AM最小值为
．
=
=4
，
26．（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60° 又∵OA=OB=4，
- 3 -
∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B，
2
∴可设抛物线解析式为y=ax+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得
，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x+
2
x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP，
222则2+|y|=4， 解得y=±2， 当y=2
时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=
=
，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P的坐标为（2，﹣2）
222
②若OB=PB，则4+|y+2|=4， 解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
2222
③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+2|， 解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2
），
- 4 -
26．（12分）（2012?襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y
2
轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O，D，C三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
解答： 解：（1）∵四边形ABCO为矩形， ∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10． 由题意，△BDC≌△EDC． ∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD． 由勾股定理易得EO=6． ∴AE=10﹣6=4， 222设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x+4=（8﹣x）， 解得，x=3，∴AD=3． ∵抛物线y=ax+bx+c过点D（3，10），C（8，0）， ∴， 2解得 ∴抛物线的解析式为：y=﹣x+2x． （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°， ∴∠DEA=∠OCE， 由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5． 而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t． - 5 -