(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 解答：解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)． ?9a＋3b＝0?a＝1?∴ ，解得：?． ?16a＋4b＝4?b＝－3∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x． (2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)， 得：4＝4k1，解得k1＝1． ∴ 直线OB的解析式为y＝x． ∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m． ∵ 点D在抛物线y＝x2－3x上． ∴ 可设D(x，x2－3x)． 又点D在直线y＝x－m上， ∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4． 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2， ∴ D点坐标为(2，－2)． (3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)， ∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)． - 11 -
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)， 1∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝． 4∴ 直线A'B的解析式是y＝x＋3． 4∵ ∠NBO＝∠ABO， ∴ 点N在直线A'B上， 1∴ 设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上， 4∴ 14y A' B 1n＋3＝n2－3n， N P2 O P1 N1 A D B1 图1 3解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)， 4345∴ 点N的坐标为(－，)． 416方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 345则N1(－，－)，B1(4，－4)， 416∴ O、D、B1都在直线y＝－x上． ∵△P1OD∽△NOB， ∴ △P1OD∽△N1OB1， 1∴ ＝＝， ON1OB12345∴ 点P1的坐标为(－，－)． 832x OP1OD453将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)． 328- 12 -
345453综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)． 832328y A' B 方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△NN 2OB2， 则N4532(O 16，4)，B2(4，－4)， P2 ∴ O、D、B2都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB， ∴ △P1OD∽△N2OB2， ∴ OP1OD1ON2＝OB2＝2， ∴ 点P4531的坐标为(32，8)． 将△OP31D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－8，－4532)． 综上所述，点P的坐标是(－38，－4545332)或(32，8)． ∴OQ′=3， CQ=CQ′=， 此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）． - 13 -
P1 N2 A D B2图2 x
综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）． 24、（2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线y??x2?2mx(m?0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM?x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。 （1）当m?3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m?1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）当m=3时，y=－x＋6x。
令y=0得－x＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。
∵抛物线y=－x＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=4。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△ACH∽△PCB。 ∴
22
2
AHPB。 ?CHBC2
∵抛物线y=－x＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，
C关于对称轴对称，
∴BC=2（m－1）。
∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。
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又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。 ∴AH=1，CH=2m－1， ∴
1m?13?，解得m= 。 2m?12?m?1?2（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。
（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1， （i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。 此时点E的坐标是（2，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。 此时点E的坐标是（0，4）。
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m， （i）若点E在x轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=此时点E的坐标是（
2。 34 ，0）。 3（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=
24时，点E的坐标是（，0）。 33- 15 -