当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴=解得t=，即=． ， 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴=解得t=∴当t=，即． 或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似． =， （3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论： ①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么点必为抛物线顶点； 则：M（4，﹣）； MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； ）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（②EC为平行四边形的边，则EC将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）； 将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）； 综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38） ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26） ③M3（4，），N3（4，﹣）． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
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（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
解答： 解：（1）A（1，4）．…（1分）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4 ∵抛物线过点C（3，0）， ∴0=a（3﹣1）2+4， 解得，a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）
（2）∵A（1，4），C（3，0）， ∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6． ∵点P（1，4﹣t）．…（3分）?
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣∴GE=（4﹣
）﹣（4﹣t）=t﹣
．…（5分）
．
又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣， 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=?EG?+?EG（2﹣）
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=?2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7分）
当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分） （3）t=
或t=20﹣8
．…（12分）
（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）
24．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
解解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点， 答- 8 -
： ∴， 解得： ∴y=﹣x2+x+2； 当y=2时，﹣x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍）， 即：点D坐标为（3，2）． （2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能： ①当AE为一边时，AE∥PD， ∴P1（0，2）， ②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等， 可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等， ∴P点的纵坐标为﹣2， 代入抛物线的解析式：﹣x2+x+2=﹣2 解得：x1=∴P点的坐标为（，x2=， ，﹣2），（，﹣2） ，﹣2）；p3（，﹣2）． 综上所述：p1（0，2）；p2（（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a2+a+2）， - 9 -
①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a， PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a， 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°， ∴∠FQ′P=∠OCQ′， ∴△COQ′～△Q′FP，，， ∴Q′F=a﹣3， ∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′=此时a=，点P的坐标为（，）， =， ②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣a2+a+2＜0，CQ=﹣a， PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a， 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°， ∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°， ∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a， 22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； - 10 -