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16．1 二次根式
教学内容
二次根式的概念及其运用 教学目标
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知
很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？ 老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 三、巩固练习
1 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展
例3．当x是多少时， +在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时， +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)
五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业
1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计．
16.1二次根式(2)
教学内容
1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）． 教学目标
理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键
1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（）2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答
2 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答） （a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______； （）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4． 同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=， （）2=0，所以
（）2=a（a≥0） 例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=，（）2=．
三、巩固练习 计算下列各式的值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、应用拓展 例2 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
3 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：
1．（a≥0）是一个非负数；
2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）． 六、布置作业
1．教材P5 5，6，7，8
2．选用课时作业设计．
16.1二次根式(3)
教学内容 ＝a（a≥0） 教学目标
理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点：＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立． 教学过程 一、复习引入
4 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．（a≥0）是一个非负数； 3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空：
=_______； =_______； =______； =________； =________； =_______．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2； =0.01； =； =； =0； =． 因此，一般地： =a（a≥0） 例1 化简
（1） （2） （3） （4）
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）?去化简． 解：（1）==3 （2）==4
（3）==5 （4）==3
三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展
例2 填空：当a≥0时， =_____；当a<0时， =_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若=a，则a可以是什么数？ （2）若=-a，则a可以是什么数？ （3）>a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）
2
”中的数是正数，因为，当a≤0时， =，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为=a，所以a≥0； （2）因为=-a，所以a≤0；
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