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1 常用方法
1.1比较法（作差法）[1]
在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.
例1 已知：a?0，b?0，求证：证明
a?b2a?b2?ab.
b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，
故得 1.2作商法
.
在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.
例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而
abaab?1或
ab?1来判断其大小，步骤一般为：
?1，a?b?0.
baababb?a?????b?a?b?1，
故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.
例3 求证：5?7?1?15. 证明 要证
35?19?4155?7?1?15，即证12?235?16?215，即
35?2?15，
，415?16，15?4，15?16.
由此逆推即得 5?7?1?15. 1.4综合法
1
[2]
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证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.
例4 已知：a，b同号，求证：证明 因为a，b同号， 所以 则
abab?ba?2.
ab??0，baabbaab?0， ba?2ba??2,
即 1.5反证法[3]
??2.
先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.
例5 已知a?b?0，n是大于1的整数，求证：na?nb. 证明 假设 na?nb， 则 n即
baba?1，
?1，
故 b?a， 这与已知矛盾，所以na?nb. 1.6迭合法
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证.
例6 已知：a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，求证:
a1b1?a2b2???anbn?1.
222222[4]
证明 因为a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1， 所以 a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1. 由柯西不等式
a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an?222222222222222b1?b2???bn?1?1?1,
2
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所以原不等式获证. 1.7放缩法[5]
在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.
例7 求证： ?2134??5656???99991000099991000022?0.01. ,则
证明 令p?p212?34????122?3422?5622???999910000?12?12?3224?1???99991000022?1?110001?110000,
所以 p?0.01. 1.8数学归纳法[6]
对于含有n(n?N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在
n?k(n?N)时成立的假设下，还能证明不等式在n?k?1时也成立，那么肯定这个不等式
对n取第一个值以后的自然数都能成立.
例8 已知：a,b?R?，n?N，n?1，求证：an?bn?an?1b?abn?1. 证明 （1）当n?2时，a2?b2?ab?ab?2ab，不等式成立； （2）若n?k时，ak?bk?ak?1b?abk?1成立，则
ak?1?bk?1?a(a?b)?abkkk?bk?1?a(ak?1b?abk?1)?abk?bk?1
=akb?abk?(a2bk?1?2abk?bk?1)?akb?abk?bk?1(a?b)2?akb?abk， 即ak?1?bk?1?akb?abk成立.
根据（1）、（2），an?bn?an?1b?abn?1对于大于1的自然数n都成立. 1.9换元法
在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 例9 已知：a?b?c?1，求证：ab?bc?ca?13.
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证明 设a?13?t，b?13?at(t?R)，则c?13?(1?a)t，
?1??1??1??1??1??1?ab?bc?ca???t???at????at???(1?a)t????t???(1?a)t??3??3??3??3??3??3??13?(1?a?a)t22
?13,
13所以 ab?bc?ca?1.10三角代换法
.
借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.
例10 已知：a2?b2?1，x2?y2?1，求证：ax?by?1. 证明 设a?sin?，则b?cos?；设x?sin?，则y?cos? 所以 ax?by?sin?sin??cos?cos??cos(???)?1. 1.11判别式法
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.
例11 设x,y?R，且x2?y2?1，求证：y?ax?1?a2. 证明 设m?y?ax，则y?ax?m 代入x2?y2?1中得 x2?(ax?m)2?1， 即 (1?a2)x2?2amx?(m2?1)?0 因为x,y?R，1?a2?0，所以??0，
即 (2am)2?4(1?a2)(m2?1)?0， 解得 m?1?a2，故y?ax?1?a2. 1.12标准化法[8]
形如f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn的函数，其中0?xi??，且
x1?x2???xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,?,xn)[7]
的值越大（或不变）；
当x1?x2???xn时，f(x1,x2,?,xn)取最大值，即
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nf(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn?sinx1?x2???xnnA?B2.
标准化定理：当A?B为常数时，有sinAsinB?sin证明：记A?B?C，则
f(x)?sinAsinB?sin22.
A?B2?sinAsin(C?A)?sin2C2,
求导得 f?(A)?sin(C?2A)， 由f?(A)?0得 C?2A，即A?B. 又由 f??(A)??cos(B?A)?0, 知f?(A)的极大值点必在A?B时取得. 由于当A?B时，f?(A)?0，故得不等式.
同理，可推广到关于n个变元的情形. 例12 设A,B,C为三角形的三内角，求证：sin证明 由标准化定理得， 当A?B?C时， sinA2?sinB2?sinA2sinC2B2?sin12C2A2sinB2sinC2?18.
， 取最大值，
8?181故 sin1.13等式法
.
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为?ABC的三边长，求证：
2ab?2ac?2bc?a?b?c222222444.
12(a?b?c)证明 由海伦公式S?ABC?两边平方，移项整理得
16(S?ABC)2p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p?.
?2ab?2ac?2bc?a?b?c222222444
而S?ABC?0,
所以 2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4. 1.14分解法
按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基
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