中原工学院
3 利用著名不等式证明
3.1利用均值不等式[15-16]
设a1,a2,?,an是
n个正实数，则
a1?a2???an?na1a2?an，当且仅当
na1?a2???an时取等号.
nn例22 证明柯西不等式 (?a22nibi)?(?ai)(?b2i).
i?1i?1i?1证明 要证柯西不等式成立，只要证
nnn ?a?a2ibi?i?b2i （1）
i?1i?1i?1nn令 ?a2i?A2,?b2i?B2, （2）
i?1i?1n式中A?0,B?0,则（1）即 ?aibi?ABi?1
n?aibi即
i?1AB?1 （3）
a2b22211下面证不等式(3),有均值不等式，
a1b1A2?B2A2B2?2，
2即
2a1b1a21AB?A2?b1B2，
2a22b22a22a2ABA2?b2nbna2同理
?nB2， ?，
AB?A2?bnB2.
将以上各式相加，得
nn2n?a2i?b2i(?abi?11ABii)?2?i?2i?1AB (4)
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根据（2），（4）式即
2AB(?aibi)?2.
i?1n因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证. 3.2利用柯西不等式[17-18]
n例23 设ai?R，i?1，2，?，n．求证：?i?11?n?2ai???ai?．
n?i?1?2证明 由柯西不等式
n?n??n??n2??n2?2??ai????ai?1????ai???1??n?ai．
i?1?i?1??i?1??i?1??i?1?22两边除以n即得．
说明：两边乘以
1n后开方得
1nia?ni?1?1n2ia?ni?1．当ai为正数时为均值不等式中的算术
平均不大于平方平均． 3.3利用赫尔德不等式[19]
例24 设a,b为正常数，0?x?ab?2，n?N，求证：
n?22n?22? n???ansinxcosx?2?bn?2???2
n2b?n?2b?n?2?a?a22?证明 ?n?= sinx?cosx?n?2 ????nnn?sinxcosx??sinxcosx?2?a? ??n??sinx?2n?2?sinx?22nn?22?b????n?cosx?n?2?cosx?2nn?2
即
asinxn= an?2?bn?2
n?2????ancosx?b2n?2??bn?2??22
3.4利用詹森不等式[20]
例 25 证明不等式
a?b?c(abc)3?abc, 其中a,b,c均为正数.
abc证明 设 f(x)?xlnx,x?0.由f(x)的一阶和二阶导数
f?(x)?lnx?1,f??(x)?1x
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可见，f(x)?xlnx在x?0时为严格凸函数.依詹森不等式有
f(a?b?c3)?13(f(a)?f(b)?f(c)),
从而
a?b?ca?b?c3ln3?13(alna?blnb?clnc),
即
(a?b?c?cbc3)a?b?aabc.
又因3abc?a?b?c3,所以
a?b?c (abc)3?aabbcc.
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