中原工学院
本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.
例14 n?2，且n?N，求证：1?证明 因为 1?12?13???112?13???1n?n(nn?1?1).
?1??1??1??n?(1?1)???1????1??????1?n?2??3??n?
?2?32?43???12n?1n13?n?1nn2?32?43???n?1n?n?nn?1.
所以 1?1.15构造法[9-10]
?????n(nn?1?1).
在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.
例15 已知：x2?y2?1，a2?b2?2，求证：b(x2?y2)?2axy?2.
证明 依题设，构造复数z1?x?yi，z2?a?bi，则z1?1，z2?2 所以 z12?z2?(x?yi)2(a?bi)?[a(x2?y2)?2bxy]?[b(x2?y2)?2axy]i
b(x?y)?2axy?Im(z1?z2)?z12222?z2?2
故 b(x2?y2)?2axy?1.16排序法[11]
利用排序不等式来证明某些不等式.
2.
排序不等式：设a1?a2???an，b1?b2???bn，则有
a1bn?a2bn?1???anb1?a1bt1?a2bt2???anbtn?a1b1?a2b2???anbn,
其中t1,t2,?,tn是1,2,?,n的一个排列.当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时取等号.
简记作：反序和?乱序和?同序和.
例16 求证：a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da.
证明 因为a,b,c,d?R有序，所以根据排序不等式同序和最大， 即 a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da. 1.17借助几何法[12]
6
中原工学院
借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易. 例17 已知：a,b,m?R?，且a?b，求证：
a?mb?m?ab.
证明 (如图1.17.1)以b为斜边，a为直角边作Rt?ABC.
延长AB至D，使BD?m，延长AC至E，使ED?AD，过C作AD的平行线交DE于F，则?ABC∽?ADE，令CE?n， 所以 a?AB?a?m
又CE?CF，即n?m， 所以
bACb?na?mab?m?a?mb?n?b.
EnFCbDmBaA
图1.17.1
7
中原工学院
2 利用函数证明不等式
2.1函数极值法
通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的. 例18 设x?R，求证：?4?cos2x?3sinx?2证明 f(x)?cos2x?3sinx?1?2sin当sinx?3218.
23?1?x?3sinx??2?sinx???2
4?8?时， f(x)max?2;
481当sinx??1时， f(x)min??4. 故 ?4?cos2x?3sinx?22.2单调函数法[13-14]
当x属于某区间，有f?(x)?0，则f(x)单调上升；若f?(x)?0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)?g(x)，只须证f(a)?g(a)及f?(x)?g?(x),(x?(a,b))即可.
例 19 证明不等式
ex?1?x，x?0.
证明 设f(x)?ex?1?x,则f?(x)?ex?1.故当x?0时，f?(x)?0,f严格递增；当
x?0,f?(x)?0,f18.
严格递减.又因为f在x?0处连续，
则当x?0时，
f(x)?f(0)?0,
从而证得
ex?1?x,x?0
2.3中值定理法
利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在?，a???b，满足f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)来证明某些不等式，达到简便的目的.
8
中原工学院
例20 求证：sinx?siny?x?y.
证明 设 f(x)?sinx，则sinx?siny?(x?y)sin???(x?y)cos? 故 sinx?siny?(x?y)cos??x?y. 2.4利用拉格朗日函数
例 21 证明不等式
3(1a?1b?1c)?1?3abc, 其中a,b,c为任意正实数.
证明 设拉格朗日函数为对
L(x,y,z,?)?xyz??(1x?1y?1z?1r).
对L求偏导数并令它们都等于0，则有
Lx?yz??x2?0，
Ly?zx??y2?0，
Lz?xy??x2?0，
L??1x?1y?1z?1r?0.
由方程组的前三式，易的
1x?1y?1z?xyz??.
?把它代入第四式，求出??13r.从而函数L的稳定点为x?y?z?3r,??(3r)4.
1x?1y?1z?1r为了判断f(3r,3r,3r)?(3r)3是否为所求条件极小值，我们可把条件看作
隐函数z?z(x,y)（满足隐函数定理条件），并把目标函数f(x,y,z)?xyz(x,y)?F(x,y)看作f与z?z(x,y)的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：
zx??zx22,zy??zy22,
Fx?yz?yzx2,Fy?xz?xzy2,
9
中原工学院
F?2yz3,F?z?z2?z2?2z3,
xxx3xyyxxy2xz3Fyy?y3.
当x?y?z?3r时，
Fxx?6r?Fyy,Fxy?3r,
F2xxFyy?F?27r2?0.
xy由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式xyz?(3r)3(x?0,y?0,z?0,111x?y?z?1r).
令x?a,y?b,z?c,则r?(1?1?1abc)?1,代入不等式有
abc?[3(11a?1b?1c)?]3
或 3(1?11ab?1c)??3abc(a?0,b?0,c?0).
10