券目前的市价为84.99元。你正考虑购买2年期、面值为100元、息票率为12%（每年支付一次利息）的债券。
（1）2年期零息票债券和2年期附息票债券的到期收益率分别等于多少？ （2）第2年的远期利率等于多少？ （3）如果预期理论成立的话，第1年末2年期附息票债券的预期价格等于多少？
习题答案：
1. 附息债券的实际年收益率较高。
（1）3个月短期国债的实际年利率为： （100000/97645）4-1=10%
（2）附息债券的实际年利率为： 1.052-1=10.25%
2. 该国债的实际年利率为1.052-1=10.25%, 因此若付息频率改为一年一次，其息票率应提高到10.25%。
3. 半年到期收益率率为4%，折算为年比例收益率（或称债券等价收益率）为8%。 4. 分别为463.19元、1000元和1134.2元。
5. 半年的到期收益率率为4.26%，折算为债券等价收益率为8.52%，折算为实际年到期收益率为8.70%。 6. 填好的表格如下：
价格（元） 期限（年） 债券等价到期收益率 400 20 4.634% 500 20 3.496% 500 10 7.052% 376.89 10 10% 456.39 10 8% 400 11.68 8%
7. （2）。 8. （3）。 9. （4）。 10. 对。 11. (4)。
12. （1）P=9/107+109/1.082=101.86元。 （2）到期收益率可通过下式求出： 9/（1+y）+109/(1+y)2=101.86 解得：y=7.958%。
（3）从零息票收益率曲线可以推导出下一年的远期利率（f2）： 1+f2=1.082/1.07=1.0901
解得:f2=9.01%。由此我们可以求出下一年的预期债券价格： P=109/1.0901=99.99元。
13. （1）1年期零息票债券的到期收益率（y1）可通过下式求得： 94.34=100/(1+y1)
解得：y1=6%
2年期零息票债券的到期收益率（y2）可通过下式求得： 84.99=100/(1+y2)2 解得：y2=8.47%
2年期附息票债券的价格等于： 12/1.06+112/1.08472=106.51
2年期附息票债券的到期收益率可通过下式求得： 12/（1+y）+112/（1+y）2=106.51 解得：y=8.33%。
（2）f2=（1+y2）2/（1+y1）-1=1.08472/1.06-1=11%。 （3）第1年末2年期附息票债券的预期价格为： 112/1.11=100.9元。
第七章 习题：
1．Z股票目前市价为10元，某投资咨询公司为该股票的红利和1年后的股价作了如下的情景分析：
情景 概率 现金红利（元） 期末股价（元） 1 0．1 0 0
2 0．2 0．2 2．00 3 0．3 0．4 12．00 4 0．25 0．6 16．00 5 0．15 0．8 25．00
请计算各情景的收益率以及这些收益率的均值、中位数、众数、标准差、三阶中心矩。该股票收益率的概率分布是否有正偏斜？
附录B：
预期收益率、均方差、协方差和相关系数的经验估计
预期收益率、均方差、协方差和相关系数的估计在投资决策中有着举足轻重的作用。这里我们介绍较简单、也较常用的一种经验（Empirical）估计法，即根据过去的实际数据对未来进行估计。
首先，我们要选定样本期的长短。选择一个适当的样本期长度并不是一件简单的事。一般来说，数据越多，估计结果通常越精确。但是，相关经验研究表明，预期收益率、均方差、协方差和相关系数本身会随着时间的变化而变化，因此太老的数据对预测未来的用处可能不大。因此一个折衷方案是使用最近90至180天的每日收盘股价 进行估计。另一个经常使用的原则是选择与使用期相同长度的样本期。更为复杂的方法则是使用GARCH等计量经济方法。 另一个重要的问题是时间应使用日历时间还是交易时间。大量的经验研究结果显示，用交易时间较为合理。
令：n+1为我们选定的样本天数；
Si为在第i天的收盘股价（i=0，1，2，…，n）。 ，表示第i天的连续复利收益率 ，i =1，2，…，n。 则预期收益率的估计值（ ）就等于ui的均值：
收益率的均方差（ ）的无偏估计为：
现假设有两种证券1和2，其连续复利年收益率分别为u1i和u2i，收益率的均值分别为 和 ，均方差分别为 ，则其协方差（ ）的无偏估计为：
两种证券的相关系数（ ）的估计值为：
本书所附光盘中有一个根据上述方法用2002年5月29日至2002年7月9日之间招商银行与陆家嘴股票的收盘价格估计这两种股票在2002年7月10日的预期收益率、均方差、协方差和相关系数的EXCEL模板。作为一个简单的例子，我们取样本期间长度为30个交易日。
应该注意的是，根据历史数据估计未来的预期收益率存在很大的局限性，在实际应用时要特别小心。例如，根据这段时期估计的招商银行股票的连续复利预期年收益率高达213.61%，这显然有问题。这也是目前有关股票预期收益率的大多数经验研究（有人称为实证研究）所存在的问题。
值得一提的是，EXCEL本身就有求均值、标准差、协方差和相关系数的函数，其函数名分别为AVERAGE、STDEV、COVAR和CORREL。只是EXCEL中的COVAR计算公式为：
习题答案： 1． （3） 2． （2） 3． （4） 4． （4） 5． (1)
6． 贝塔系数=30%×1.2+20%×0.6+10%×1.5×40%×0.8=0.95 7． 1/3×1.6+1/3×X=1,X=1.4
8． 对于A=4的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×4×20%2=12%
而国库券的效用是7%，因此他会选择风险资产组合。 对于A=8的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×8×20%2=4% 因此他会选择国库券。
9． 风险资产组合的效用为： U=14%-0.5A×20%2
国库券的效用为6%。为了使他更偏好风险资产组合，14%-0.5A×20%2必须大于6%，即A必须小于4。为了使他更偏好国库券，14%-0.5A×20%2必须小于6%，即A必须大于4。
10． （1）尽管孤立地来看黄金的预期收益率和标准差都不如股票理想，但如果股票和黄金的相 关系数很小（如图中的实线所示），投资者通过持有部分黄金仍有可能提高投资效用。
（2）如果股票和黄金的相关系数等于1（如图中的虚线所示），则任何理性的
投资者都不会持有黄金的多头。此时黄金市场显然无法取得均衡。人们卖出或卖空黄金的结果将使黄金价格下跌、收益率提高。
11． 无差异曲线上的点必须满足效用函数：
（1） 将A=2，U=6%代入上式得： =6%+ 2
利用这个式子，我们可以得到与不同的 值相对应的 值，如下表：
0% 6% 5% 6.25% 10% 7% 15% 8.25% 20% 10% 25% 12.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。 （2） 将A=4，U=5%代入上式得： =5%+2 2
利用这个式子，我们可以得到与不同的 值相对应的 值，如下表：
0% 5% 5% 5．5% 10% 7% 15% 9．5% 20% 13% 25% 17．5%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。 （3） 将A=0，U=6%代入上式得： =6%。
可见该投资者的无差异曲线就是一条经过（0，6%）点的水平线，如图中U3所示。
（4） 将A=-2，U=6%代入上式得： =6%- 2
利用这个式子，我们可以得到与不同的 值相对应的 值，如下表：
0% 6%
5% 5．75% 10% 5%
15% 3．75% 20% 2% 25% -0.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U4所示。
12． （1）投资者会选择效用最高的风险资产。第1至4种风险资产的效用分别为-8%、-17%、12% 和7%，因此他会选择第3种风险资产。 （2）风险中性者会选择预期收益率最高的第4种风险资产。 13． （1）组合的预期收益率=国库券的权重×国库券收益率+指数的权重×指数的预期收益率
由于国库券的标准差为0，其与指数的协方差也为0，因此组合的标准差=指数的权重×指数的标准差。计算结果如下表所示。
国库券的权重 指数的权重 组合的预期收益率 组合的标准差 0 1．0 12．5% 20% 0．2 0．8 10．8% 16% 0．4 0．6 9．1% 12% 0．6 0．4 7．4% 8% 0．8 0．2 5．7% 4% 1．0 0 4% 0
（2）当A=2时，组合的效用U=组合的预期收益率-组合的方差，我们有： 国库券的权重 指数的权重 组合的效用（A=2） 0 1．0 8．5%
0．2 0．8 8．24% 0．4 0．6 7．66% 0．6 0．4 6．76% 0．8 0．2 5．54% 1．0 0 4%
可见，你应全部投资于S&P500股票。
（3）当A=4时，组合的效用U=组合的预期收益率-2×组合的方差，我们有： 国库券的权重 指数的权重 组合的效用（A=4） 0 1．0 4．5%
0．2 0．8 5．68% 0．4 0．6 6．22% 0．6 0．4 6．12% 0．8 0．2 5．38% 1．0 0 4%
可见，你应将资金60%投资于S&P500股票，40%投资于国库券。 14． 计算过程如下表所示：
证券 权重 预期收益率 预期收益率*权重 A 0.215054 0.2 0.043010753
B 0.301075 0.14285714 0.043010753 C 0.053763 1 0.053763441 D 0.430108 0.1 0.043010753 小计 1 0.182795699
所以你的投资组合的预期收益率等于18.28%。 15． 计算过程如下表所示：
收益率 概率 收益率*概率 离差平方*概率 -0.1 0.1 -0.01 0.0034225 0 0.25 0 0.00180625 0.1 0.4 0.04 0.00009 0.2 0.2 0.04 0.002645
0.3 0.05 0.015 0.00231125 小计 1 0.085 0.010275 预期收益率 0.085