第三章热传导方程
一、 小结
求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。 1．混合问题
一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题
?ut?a2uxx(t?0,0?x?l)??(I)?u(x,0)??(x) ?u(0,t)?u(l,t)?0??的级数形式解为
u(x,t)??Aken?0??(k?a2)tlsink?xl(1)
其中
Ak?2lk??(?)sin?d??0ll?(k?a2)tl(k?1,2,?)
1但由于（1）中含有指数因子：e，与弦振动方程不同，只要?(x)?C[0,l],且
?(0)??(l),形式解（1）就是问题（I）的解，且当t?0时，u?C?.
对于方程或边界条件是非齐次的情况,处理方法和弦振动方程类似,可通过适当变换、叠加原理、齐次化原理化为问题（I）。
对于高维热传导方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的问题。后者对某些特殊区域仍可用分离变量法求解。解本征值问题时，通常得到本征函数系是类特殊函数。
2．初值问题
无界杆热传导方程的初值问题
2??ut?auxx?f(x,t)(t?0,???x??)(II)? u(x,0)??(x)??可用傅立叶变换求解，得形式解的表达式（泊松公式）为
u(x,t)?12a?t?????(?)e?(x??)24a2td??12a?t??0t???f(?,?)et???(x??)4a2(t??)2d?d?(2)
当??C(??,??),且有界，f(x,t)在(-?,??),t?0内连续可微且有界时,则(2)给出问
题（II）的解。
重点：热传导方程的定解问题的求解，分离变换法，傅立叶变换法； 难点：分离变换法，傅立叶变换法 二、 习题及解答
3.1 混合问题的分离变量法
1. 用分离变量法求下列定解问题的解：
2??u2?u(t?0,0?x??)??a2?x??t?u? (1)?u(0,t)?(?,t)?0(t?0)
?x??u(x,0)?f(x)(0?x??)??解：设u?X(x)T(t)代入方程及边值得
?X\??X?0X(0)?0X?(?)?0? ??T??a2?T?0?(2n?1)22n?1求非零解X(x)得?n?,Xn(x)?sinx(n?0,1,?)
42?a2(2n?1)2t4
对应Ｔ为 Tn(t)?Cne?因此得 u(x,t)?n?0?Cn?n?0a2(2n?1)2?t4esin2n?1x 2由初始值得 f(x)??Cnsin2n?1x 2因此 Cn?2???0f(x)sin?2n?1xdx 2故解为 u(x,t)?n?0???02?f(?)sin2n?1?d??e2?a2(2n?1)2t4sin2n?1x 2??u?2u(t?0,0?x?1)??2??t?x1??x0?x???2 (2)?u(x,0)??
1??1?x?x?12??(t?0)?u(0,t)?u(1,t)?0?? 解：设u?X(x)T(t)代入方程及边值得
??X\??X?0X(0)?X(1)?0
T'??T?0?求非零解X(x)得?n?n2?2,Xn?sinn?x n=1,2,…… 对应Ｔ为Tn?Cne?n2?2t
?n2?2t故解为 u(x,t)?由始值得
?Cnen?1??sinn?x
1?x0?x??2 Csinn?x???n1n?1?1?x?x?12?因此 Cn?2[?120 nxdx]xsi?nnx?d?)sin?1x?(1x21?11?2[xcosn?x?22sinn?x]n?n??4n2?2?120?2[?11(1?x)cosn?x?22sinn?x]n?n?112sinn? 2所以 u(x,t)?n??n2?2tsisinn?x ?n2?2n2en?14? 2．长度为l的均匀细杆的初始温度为0，端点x?0保持常温u0，而在x?l和侧面
上，热量可以发散到到周围的介质中去，介质的温度取为0，此时杆上的温度分布函数
?u(x,t)满足下述定解问题：
2??u2?u2?bu??a2?x??t??uu(0,t)?u,[?Hu]x?l?0 ?0?x??u(x,0)?0??试求出u(x,t)
解：引u(x,t)?v(x)?w(x,t)使w满足齐次方程及齐次边值，代入方程及边值，计算后得v(x)要满足：
?2d2v2?bv?0?a2 ?dx?'?v(0)?u0,(v?Hv)x?1?0v(x)的通解为
v(x)?Achbbx?Bshx aa由边值 v(0)?A?u0
bbb(u0shx?Bchx) aaabbbbb得 (u0shl?Bchl)?H(u0chl?Bshl)?0
aaaaabbbb解之得B??u0(bshl?Hachl)(bchl?Hashl)
aaaabbbbbb因此v(x)?u0chx?u0(bshl?Hachl)shx(bchl?Hashl)
aaaaaabbbb??u0[bch(l?x)?Hash(l?x)](bchl?Hashl)
aaaa又 v?(x)?这时w(x,t)满足：
2??w2?w2?a?bw?2?x??t??ww?0,(?Hw)x?1?0 ?x?0?x??wt?0??vt?0??v??设w(x,t)?X(x)T(t)代入方程及边值条件得
X(0),X?(l)?HX(l)?0?X????X?0 ?22?T??(a??b)T?0求非零解X(x).??0时，才有非零解。这时通解为
X(x)?Acos?x?Bsin?x
由边值得
X(0)?A?0得A?0
X(x)?Bsin?x要B?0，即有非零解，必须
X'(x)??Bcos?xB(?cos?l?Hsin?l?0
?cos?l?Hsin?l?0
即 tg?l???H
令
?l??,P?Hl
?p
得tg???它有无穷可数多个正根，设其为?1,?,?2,?得
Xn(x)?sin?nlx,?n?2?nl2
对应T为 Tn(t)?2a2?n?(2?b2)tAnel
因此 w(x,t)???An2a2?n?(2?b2)telsin?nlx
n?1其中?n满足方程 tg???再由始值得
?pp?Hl
??n?1bb??0[bch(l?x)?Hash(l?x)]?aa Ansinnx??v?bblbchl?Hashlaa