?v1?2(x??)?e?x4?a24a2(t??)2?v?x同理 所以
22(x??)2?(y??)2?4a2(t??)
?(x??)2?(y??)24a2(t??)?1214?a(t??)12[2[?12a2?(x??)424a(t??)(y??)24a(t??)4]e
?2v?y2?12?12a24?a(t??)?]e(x??)2?(y??)2?4a2(t??)
?2v?x2??2v?y2??14?a?v2[?1a(t??)22?(x??)2?(y??)24a(t??)43]e(x??)2?(y??)2?4a2(t??)a2?t?v?2v?2v?2v?2v?v?v?v????仿此 ?2 ?222?t?????x???y?x??2?v?2v2?v所以 ?a(2?2)?0 ??????7．证明如果u1(x,t),u2(x,t)分别是下列两个问题的解。
22??u??u1?u2?u2221??a?a??t?y2 ??x2??t?u??1t?0??1(x);?u2t?0??2(y)则u(x,y,t)?u1(x,t)?u2(y,t)是定解问题
??u2???2u?u2????a?2?2?? ??t?t?y?????ut?0??1(x)?2(y)的解。
证： 验证即可。因
?u?u?u1?u2?u12 ?t?t?t所以a2???2u??t2?2?2u2?u1?u2?u?2u?2?u12? ?2?au?au?u?u?121222??t?t?t?y??t?y又 ut?0?u1t?0?u2t?0??1(x)?2(y)
8．导出下列热传导方程柯西问题解的表达式
2??u?2u2?u??a(2?2)?x?y??t ?n??ut?0??(x,y)???i(x)?i(y)i?1? 解：由上题，只需分别求出
2??u12?u1?a??t??x2 及 ?u?1t?0??i(x)2??u22?u2?a??y2 ??t?u?2t?0??i(y)的解，然后再相乘迭加即得。但
u1(x,t)?12a?t????(x??)2?2?i(?)e4atd?
u2(y,t)?12a?t?????i(y??)2?2(?)e4atd?
n????(x??)2?(y??)24a2td?d?
所以 u(x,y,t)??i(?)?i(?)e???4a?t2i?1????1?9．验证二维热传导方程柯西问题
2??u?2u2?u??a(2?2)?x?y ??t??ut?0??(x,y)解的表达式为
u(x,y,t)?1????4?a2t??????(x??)2?(y??)2?4a2t?(?,?)ed?d? (x??)2?(y??)2?4a2te 证：由第6题知函数
14?at2t?0满足方程，故只需证明可在积
分号下求导二次即可。为此只需证明在积分号下求导后所得的积分是一致收敛的。
对x求导一次得
I1?1????4a2?t???????(?,?)????(x??)2?(y??)2(x??)??4a2ted?d? ?22at?对有限的x,y即x?x0,y?y0和t?t0?0，下列积分
?22at???x??(x??)2?2e4atd?
??(y??)2e4at??2?d?
是绝对且一致收敛的。因为对充分大的A?0，每个积分
?A?2a2t?A??x??(x??)2?2e4atd?
?(x??)2x???4a2ted? 22at??(y??)2e4at2?d?
2A?A?(y??)2e4at???d?
都是绝对且一致收敛的。绝对性可从A?0充分大后被积函数不变号看出，一致性可从充分性判别法找出优函数来。如第三个积分的优函数为
(y0??)2?4a2t02e且eA
??(y0??)4a2t0?d?
收敛。
因
?(?,?)?M，故
1??4a2?t?????M4a2?t0????(?,?)?x??2a2tx??2a2t(x??)2?(y??)2?4a2ted?d?
(x??)2(y??)2???224ated?e4atd?
?????右端为一致收敛积分的乘积，仍为一致收敛积分。因而I1为绝对一致收敛的积分。从而有
?2u?2u?u?u?I1，对2,2,讨论是类似的。从而证明表达式满足方程。 ?x?x?y?t再证满足始值。任取一点(x0,y0)，将?(x0,y0) 写成 因而
?(x0,y0)?1??????????(x0,y0)e?(?2??2)d?d?
u(x,y,t)??(x0,y0)?1?????????[?(x?2at?,y?2at?)??(x0,y0)]e?(?2??2)d?d?
对任给??0，取N?0如此之大，使
?N???????N??????e?(?2??2)d?d????12M??N????e?(?2??2)d?d????12M
??e?(?2??2)d?d????12M????N??(?e?2??2)d?d????12M
再由?的连续性，可找到??0使当x?x0，y?y0,t都小于?时，有
?(x?2at?,y?2at?)??(x0,y0)?所以
?3
?(?2??2)1NN?N?N????(x?2at?,y?2at?)??(x0,y0)e1d?d???3
因此 u(x,y,t)??(x0,y0)??4???12M?2M??3?21????? 33即有 u(x,y,t)t?0??(x,y)
10．用傅立叶变换法求解弦振动方程的柯西问题：
?utt?a2uxx?0(t?0,???x??)? (I)?u(x,0)?j(x)?u(x,0)?0?t 解：对（I）关于x分别进行傅立叶变换，并记
?(l,t),F[j(x)]?j?(l) F[u(x,t)]?u利用傅立叶变换的性质，得
?tt??a2l2u??u??(l,0)?j?(l) (II)?u?u??t(l,0)?0是带参数?的常微分方程的柯西问题，它的解是
?(l,t)?j?(l)cosalt u于是定解问题（II）的解应为
?(l,t)]?F?1[j?(l)cosalt]u(x,t)?F?1[u1?ilx??j(l)cosalt?edl???2p1?i(x?at)l i(x?at)l??[e?e]j(l)dl4p???1?[j(x?at)?j(x?at)]2