所以 An??l0?vsinl0?nllxdx
?sin2?nxdx应用?n满足的方程，计算可得
2lp(p?1)??n?0sinlxdx?2[p2??n2 l2?n又
?nb1ch(l?x)sinxdx?2?0ab2?nl?22all?n?nbb??nb?ch(l?x)cosx?sh(1?x)sin?lalaal??x??0l?n?nba2l2a2l2b?2222(?cos?n?chl)?2222(cos?n?chl)a?n?blllaa?n?bla?nb1sh(l?x)sinxdx?2?0ala2?n?b2l2l?bb?n?nb?n?ch(l?x)sinx?sh(1?x)cos?aallaal??x??0l?nba2l2b?22(?sin??shl)n22a?n?blala所以
a2l?0?vsin?nxdx??u0a2?n2?b2l2??b?ncos?n?lbb?b?nchl?lHbsin?n?Ha?nshl?aa?
bb(bchl?Jasjlaabb?b?nchl?lHbsin?n?Ha?nshl?aa?bb(bchl?Jasjlaa??u0a2?nl2a2?n?b2l2?u0(??ncos?n?lHsin?n)
2222bba?n?bl(bchl?Hashl)aaa2lb??u0a2?nla22?n?bl22(?tg?n???nHl)
得An?最后得
2?2u0a2?n?(p2??n)(a22?n?bl)?(p?p?2222?n)
bbbch(l?x)?Hash(l?x)2u0a2aau(x,t)?u0??
bblbchl?Hashlaa22222??a2?n(p??n)?n?(2n?b)t?sinx ?(a2?2?b2l2)(p2?p??2)elln?1nn其中?n满足 tg????p(p?Hl)
?w?Hw)|?0.为此取
z?l?x另一解法：设u?v?w使满足w(0,t)?u0,(w?ax?b,代入边值得
b?u0,a?H(al?u0)?0
?Hu0??a?解之得 ?1?Hl
??b?u0因而 这时v，满足
2??vHx2?v22?bv?bu(1?)??a02?t1?Hl?x??v?v(0,t)?0(?Hv)|?0 ?x?i?x??v(x,0)??w(x,0)??u(1?Hx)0?1?Hl?w?u0?Hu0Hxx?u0(1?)
1?Hl1?Hl 按非齐次方程分离变量法，有
v(x,t)??Tn(t)xn(x)
n?1?其中xn(x)为对应齐次方程的特征函数，由前一解知为
xn(x)?sinknx(kn?unu,tgun??n,p?Hl) lp 即 代入方程得
v(x,t)??Tn(t)sinknx
n?1??(Tn'?a2kn2Tn?b2Tn)sinknx??b2u0(1?n?12由于{sinknx}是完备正交函数系，因此可将 ?bu0(1??Hx) 1?HlHx)展成{sinknx}的级数，1?Hl即
?Hx?bu0(1?)??Ansinknx
1?Hln?12由正交性得
An???b2u0(1?0llHx)sinknxdx/N 1?HllH?
2222(kn?H)Nn??sin2knxdx?0又
?l0?b2u0(1?lHx1H112)sinknxdx??b2u0{?cosknx?[?xcosknx?2sinkx]}|01?Hlkn1?Hlknkn??b2u0[11HlH?cosknl?cosknl?2sinknl]knknkn(1?H)kn(1?Hl)11HlH11?cosknl(1???)]??b2u0 knkn1?Hl1?HlHkn1knNn
??b2u0[所以 An??b2u0将此级数代入等式右端得Tn满足的方程为
2Tn??a2knTn?b2Tn??b2u01knNn
由始值得
??Tn(0)sinknx??u0(1?n?1?Hx)1?Hl
???u0n?11sinknx knNn 有 Tn(0)??u01 knNn解Tn的方程，其通解为 '
Tn?cne?(a2kn2?b2)t?b2u01 ??22knNnakn?b2由 Tn(0)??u01 knNn?1 knNn得 cn??2a2knu02a2kn?b22u01?b2)t22?(a2kn2即有解 Tn(t)???22(ake?b) nknNnakn?b2u0122(a2kn2?b2)t?22(akne因此 v(x,t)???
2kNnnakn?bn?1??b2)sinknx u(x,t)?u0(1?2?(akn?b(a2kne22u0Hx)???
2221?HlknNn(akn?b)2)t?b2)sinknx
3. 半径为a的半圆形平板，其表面绝热，在板的圆周边界上保持常温u0，而在直径边 界上保持常温u1，求圆板稳恒状态的温度分布。
解：引入极坐标，求稳恒状态的温度分布化为解定解问题
??2u1?u1?2u??2?0?22r?rr????ru|????u1 ?u|??0?u1?u|?uu|t?0为有限?t?a0?（拉普斯方程在极坐标系下形式的推导见第三章?1习题3），其中引入的边界条件u|r?0为有限时，叫做自然边界条件。它是从实际情况而引入的。再引u?u1?v(r,?),则v(r,?) 满足
??2v1?v1?2v??2?0?22r?r?rr???v|??0?0v|????0 ??v|?u?uv|r?0有限?1?r?a0?设v(r,?)?R(r)?(?),代入方程得
R\??1'1R??2R?\?0 rr乘以r2/R?,再移项得
?\r2R\?rR' ???R右边为r函数，左边为?函数，要恒等必须为一常数记为?，分开写出即得
??\????0 ?2rR\?rR'??R?0?再由齐次边值得
?(0)??(?)?0
由以前的讨论知
?n?(n??)2?n2?n(?)?sinn?n?1,2??
对应R满足方程
r2R\?rR'?n2R?0这是尤拉方程，设R?r代入得
?n?1,2??
?(??1)r???r??n2r??0 ?2?n2?0???n
n即 R?rR?r?n
为两个线性无关的特解，因此通解为
Rn(r)?cnrn?Dnr?n
由自然边界条件v|r?0有限知 Rn(x)在r?0 处要有限，因此必需Dn?0由迭加性质知