吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期
期中教学质量检测数学（理科）试题解析
【试卷综析】
本试卷依据遵循考试大纲和考试说明要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，兼顾试题的基础性、综合性，具有良好的考查效果。转化思想充盈着试卷。转化思想的考查在整个试卷中随处可见，如16题通过坐标运算转化为三角函数的最值问题，一气呵成，浑然一体。第21题的转化方法更是“技高一筹”.数形结合思想也作了重点考查，如11，13，15题等.问题的设问方式上突破了常规的“存在”模式，为不同层次的考生提供了自我思考的机会，如第20题。总之该试卷有效地考查了运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以和创新意识等，凸显了能力考查.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A?1,3,m，B??1,m?，A?B?A，则m? A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3
【知识点】子集的性质，补集的运算，元素的互异性
【答案解析】A 由A?B?A可知B是A的真子集，所以m?3，m?0满足. 【思路点拨】解题时注意A?B?A的形成的集合关系和集合的互异性.
??1?i?a?bi(a,b?R),则a?b? 1?i A．?i B．i C．?1 D．1 2．已知i为虚数单位，若复数【知识点】复数的概念和运算
1?i?1?i?【答案解析】D a?bi???i,所以a?b?1. 1?i2【思路点拨】分母实数化后分别确定该复数的实部和虚部.
3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是
- 1 -
21xy?log1x
A.y?() B.y?sinx C.y?x3 D.
22【知识点】函数的单调性和奇偶性的判断
【答案解析】C 由奇函数条件排除A,D，而y?sinx单调性周期性变化，排除B. 【思路点拨】四个函数均为熟悉的函数，记住图象就能迅速判断. 4．已知?,?为两个平面，且???，l为直线．则l??是l?的 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【知识点】 基于线面平行与垂直的充分必要条件的判断
【答案解析】D l?不一定推出l??；而若l??，则l?或l??.因此l??是l?的既不充分也不必要条件.
【思路点拨】在???的前提下，分别研究l??和l?两个条件产生的结果.
y25．若双曲线2?x2?1的渐近线方程为y??2x，则双曲线离心率为
m A．2 B．3 C．6 D．3 2【知识点】双曲线方程、渐近线及其离心率的运算
m2【答案解析】C 由y??2x得?1??cc21?262，所以m?2，e????. 2aa22222cc?b?的多种运【思路点拨】根据焦点坐标的位置确定相应的a,b,c.注意e???1???aa2?a?2算方式的选择.
2??6．在二项式?x??的展开式中，x2项的系数为
x?? A．8 B．4 C．6 D．12
【知识点】二项式定理及二项展开式指定项的系数
122r4?r?2?r4?2r【答案解析】A Tr?1?C4x???2rC4x，T2?2C4x?8x,所以x2项的系数为8.
?x?r4【思路点拨】熟练掌握Tr?1?Cna7．已知sin2??rn?rrb的应用,并注意二项式系数与某项的系数的区别与联系.
1?，则cos2(??)? 341122 A． B．? C． D．? 3333
- 2 -
【知识点】诱导公式、倍角公式的应用.
???11?cos?2???1???【答案解析】C 2?1?sin2???3?2. cos2???????24?223?【思路点拨】利用倍角公式cos2??2cos2??1进行转化，
???cos??cos???cos?再利用诱导公式,?????sin?即得.
?2?8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是 1
A．－3 B．－2 1
C． 3 D． 2
【知识点】程序框图的识别与判断
【答案解析】B 研究数对?i,S?的规律，不难发现运算结果如下：
?1,?3????2,??1??1????3,???4,2???5,?3??... 2??3?1. 2显然由2014?503?4?2得最终输出的结果为?【思路点拨】由
1?S这一结构可以联想到周期性运算，从而通过判断周期解决. 1?S9．已知随机变量?服从正态分布N(0,?2)，P(??2)?0.023，则P(?2???2)? A．0.954 B．0.977 C．0.488 D．0.477 【知识点】正态曲线的性质的应用
【答案解析】A P??2???2??1?2P???2??1?2?0.023?0.954.
【思路点拨】计算服从正态分布的随机变量在某区间的概率，可以借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的区间上.
10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60?的扇形, 则该几何体的侧面积为
10? 310 B．6?? 3 C．12?2? A．12?
- 3 -
第10题图
D．6?4?
【知识点】 几何体的三视图与侧面积运算
【答案解析】C 由三视图可知该几何体的底面形状为中心角为60?的扇形，其高为3，所以侧面积为2?3?2?2??2?3?12?2?. 6【思路点拨】解决本题的关键是根据三视图画出该几何体的直观图，并把相应数据与之对应. 11．若函数f(x)?2sinx(x?[0,?])在点P处的切线平行于函数g(x)?2x?(?1) 在点
x3Q处的切线，则直线PQ的斜率
A．1 B．1 C．8 D．
223'【知识点】函数的导数与切线的斜率以及函数的最值应用 【答案解析】C f'12?12?x??2cosx,x??0,??，则f'?x?max?2；
'g?x??x?x,x??0,???,则g?x?min?2.
若两切线平行，必有2cosx?2且x2?x?2?2，求得P?0,0?,Q?1,?，kPQ?.
3?3?【思路点拨】斜率相等的突破口是比较两个导函数的最值，然后分别确定P?0,0?,Q?1,?，再利用斜率公式求得结果.
12．在?ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b?c，且满足11?8?8?8??3?sinB1?cosB?．若sinAcosA点O是?ABC外一点，?AOB??(0????),OA?2OB?2，平面四边形OACB面积的最大值是 A．8?534?534?53 B． C．3 D． 442sinB1?cosB?得sinBcosA?sinA?sinAcosB, sinAcosA【知识点】正弦定理、余弦定理的应用、三角函数的性质与最值. 【答案解析】由sin?B?A??sinA,sin???C??sinA,C?A,因此?ABC为正三角形.
设该三角形的边长为a，则
132322??53?SOABC??1?2sin??a?sin??1?2?2?2cos??2sin??. ?????2443?4?显然当??5?8?53时?SOABC?min?. 64 - 4 -
【思路点拨】利用正弦定理和三角形的内角关系化简即可得三角形为等边三角形，为下一步简化运算铺平的道路，表示出四边形ACBO面积后利用正弦函数的值域即可确定出面积最大值．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。
?y?x?13．已知实数x,y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为 .
?y??1?【知识点】线性规划与函数的最值
【答案解析】5.确定可行域为点??1,?1?,?,?,?2,?1?形成的三角形，则z?2x?y过
?11??22??2,?1?时取到最大值为5.
【思路点拨】依据不等式组先确定变量所在的可行域，再根据目标函数的特点和相应直线的平移确定.
?log4x,x?0114．已知函数f(x)??x，则f[f()]?_______. 4?3,x?0【知识点】分段函数的函数值 【答案解析】
1 3?1?f????1，?4???1??1f?f????f??1??.
3??4??【思路点拨】依据分段函数对应区间确定.
15．已知点F为抛物线y2??8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF＝4，则PA＋PO的最小值是______. 【知识点】抛物线的方程与性质和对称问题中的最小值
【答案解析】213 如图，可求A??2,4?,再求A??2,4?关于抛物线的准线x?2的对称点
A'?6,4?，因此PA?PO?PA'?PO，当O,P,A'三点共线时
即
PA?PO取到最小值，
?PA?PO?min'?AO?62?42?213.
- 5 -