（II）设P?x,y?,A?x1,y1?,B?x2,y2?, 则由OP?OA??OB得
?x,y???x1,y1????x2,y2?,
即x?x1??x2,y?y1??y2, 因为点A,B在椭圆x2?2y2?2上， 所以x1?2y1?2,x2?2y2?2,
222故x?2y??x1??x2??2?y1??y2??2＋2??2?(x1x2＋2y1y2).
222222设kOA,kOB分别为直线OA,OB的斜率， 由题设条件知kOA?kOB?y1y21??,因此x1x2?2y1y2?0， x1x22x2y2所以x?2y?2＋2?,即??1, 222?2?1??222x2y2所以P点是椭圆??1上的点， 222?2?1??设该椭圆的左、右焦点为F1,F2， 则由椭圆的定义PF1?PF2为定值．
??1??,0?
所以存在两个定点F??1??,0?，F?1??,0?,使得PF?PF?2又c?1??2,因此两焦点的坐标为F1?1??,0，F22212?22122?2?2. 【思路点拨】利用平面向量的坐标运算把动点P的坐标用A,B两点的坐标分别表示，然后根
x2y2据斜率关系消去A,B两点的坐标，得到??1,再根据椭圆方程的定义确定
2?2?21??2PF1?PF2为定值的存在性.
21．（本小题满分12分） 已知函数
f(x)?(2?a)(x?1)?2lnx，g(x)?ex?x?1.（a为常数，e为自然对
数的底，e?2.71828）
（Ⅰ）当a?1时，求f?x?的单调区间；
- 11 -
（Ⅱ）若函数f?x?在区间??0,1??2??上无零点，求a的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x0??0,1?，在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2)，使得
f(xi)?g(x0)成立，求a的取值范围．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的最值及参数的取值范围.
【答案解析】（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?1?2lnx(x?0)则f'(x)?1?2x. 令f'(x)?0得x?2；令f'(x)?0得0?x?2
故f(x)的单调递减区间为?0,2?，单调递增区间为?2,??? .
（Ⅱ）∵函数f(x)?0在区间??1??0,2??上不可能恒成立，
故要使函数f?x?在区间??0,1??2??上无零点，只要对?x?(0,12)，f(x)?0恒成立, 即对?x?(0,1)，a?2?2lnx2x?1恒成立. 令l(x)?2?2lnx1?2(x?1)?2lnx2lnx?2?2x?1（x?(0,2)）则l'(x)?xx , (x?1)2?(x?1)2再令m(x)?2lnx?2x?2，则m'(x)?22?2(1?x)x?x2?x2， ∵x?(0,12)，∴m'(x)?0 故函数m(x)在区间??1??0,2??上单调递减， ∴m(x)?m(12)?2?2ln2?0, 即l'(x)?0， ∴函数l(x)在区间??0,1??2??上单调递增，∴l(x)?l(12)?2?4ln2 , 故只要a?2?4ln2函数f?x?在区间??0,1??2??上无零点， 所以amin?2?4ln2.
（Ⅲ）∵g'(x)?ex?1，当x??0,1?，g'(x)?0，
- 12 -
∴函数g(x)在区间?0,1?上是增函数, ∴g(x)??2,e?.
当a?2时，f(x)??2lnx，不符题意 当a?2时，f(x)??2?a?当x?'2(2?a)x?2? xx22?e, 时，f'(x)?0，由题意有f(x)在?0,e?上不单调，故0?2?a2?a2∴a?2?① . e当x变化时，f'(x),f(x)变化情况如下：
x 2?2??2?0,,e ???? ?2?a?2?a?2?a?0 + f'(x) ? f(x) 单调递减 最小值 单调递增 又因为x?0时，f(x)???，
f(22)?a?2ln,f(e)?(2?a)(e?1)?2 , 2?a2?a所以，对于给定的x0??0,1?，在在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2)，使得f(xi)?g(x0)成立，当且仅当满足下列条件
2?)?22?f(a?2ln?2②(2?a)(e?1)?2?e③ 即2?a?2?a??f(e)?e令h(a)?a?2ln22,a?(??,2?) 2?aeh'(a)?a，令h'(a)?0，则a?0， a?2故a?(??,0)时，h'(a)?0，函数h(a)单调递增；
2a?(0,2?)时，h'(a)?0，函数h(a)单调递减.
e2所以对任意的a?(??,2?)，h(a)?h(0)?0?2.
e由③得a?
4?e?4?e?④，由①④当a????,时，在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2)，?1?e1?e??- 13 -
使得f(xi)?g(x0)成立 . 【思路点拨】函数f?x?在区间?0,而研究函数l(x)?2???1?1?x?(0,)，f(x)?0恒成立，从上无零点,可转化为?2?22lnx才变得更有意义。第三问要对f(x)?(2?a)(x?1)?2lnx先x?1进行讨论，当a?2时，不满足条件。 22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲 如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，
ADE,CFD,CGE都是⊙O的割线，已知AC?AB. （Ⅰ）证明：AD?AE?AC2；
（Ⅱ）证明：FG//AC.
【知识点】圆的切割线定理、相似三角形的性质和平行线的判定方法. 【答案解析】 （Ⅰ）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，
∴AB2?AD?AE， 又∵AB?AC， ∴AC2?AD?AE； （Ⅱ）由（Ⅰ）有G C _ OF D A E B ADAC?， ACAE∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE， ∴∠ADC=∠ACE，
∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE， ∴GF∥AC。
【思路点拨】(I) 从证明结论入手逆推可选用切割线定理；（II）第一问的结论成为证明相似三角形的必备条件，进而从等角入手判断直线平行关系. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C的圆心C(2, （Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）若???0,?4)，半径r?3 ．
?????x?2?tcos??，直线l的参数方程为?（t为参数），直线l交圆C 4?y?2?tsin?? 于A、B两点，求弦长AB的取值范围．
【知识点】直角坐标和极坐标互化、直线的参数方程的的应用 【答案解析】（Ⅰ）设圆上任意一点坐标??,??，由余弦定理得：
- 14 -
(3)2??2?(2)2?2??2?cos(??), 4整理得：?2?2??cos??sin???1?0.
（Ⅱ）∵x??cos?,y??sin?，∴x2?y2?2x?2y?1?0 , 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：
?(2?tcos?)2?(2?tsin?)2?2(2?tcos?)?2(2?tsin?)?1?0 ,
整理得：t2?(2cos??2sin?)t?1?0 , ∴t1?t2??2cos??2sin?,t1?t2??1, ∴|AB|?|t1?t2|?∵???0,(t1?t2)2?4t1t2?8?4sin2? , ??????2??0,?，∴|AB|??22,23 . ，∴????4??2??【思路点拨】（I）利用余弦定理得到关于??,??的圆的极坐标方程；（II）先把圆的极坐标方程转化为普通方程，再结合直线参数方程中参数的意义确定弦长.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?m?|x?2|,m?R*，且f(x?2)?0的解集为??1,1?． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a,b,c?R?，且111???m，求证：a?2b?3c?9． a2b3c【知识点】解不等式与参数的确定、基本不等式的应用 【答案解析】（Ⅰ）因为f(x?2)?m?|x|， 所以f(x?2)?0等价于|x|?m，
由|x|?m有解，得m?0，且其解集为x|?m?x?m?． 又f(x?2)?0的解集为??1,1?，故m?1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知?111???1，又a,b,c?R?， a2b3c∴a?2b?3c?(a?2b?3c)(?1a11111?)≥(a??2b??3c?)2=9． 2b3ca2b3c∴a?2b?3c?9
【思路点拨】（I）求出以m为参数的不等式的解集，然后与??1,1?相对应确定m的值;(II)
- 15 -
通过恒等变形形成适合运算的结构，也可以乘开后利用基本不等式.
- 16 -