【思路点拨】此类问题通常采用抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等这一特点来实现等量转化，但本题关于直线确定对称线段从而实现等量转化.
16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为___.
【知识点】基于正方形的平面向量的线性运算 【答案解析】1 2以A为坐标原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则E?,0?,C?1,1?,D?0,1?,A?0,0?,
?1?2??设P?cos?,sin??，则??,?1????cos?,sin????1,1?， 解得???1?2??2sin??2cos?33sin??3,???1. ，所以????2cos??sin?2cos??sin?2cos??sin?1???cos??1,sin??0??0,????. 由于，当时，??min??2?2?【思路点拨】建立直角坐标系，把涉及向量分别用坐标表示，通过坐标运算得到关于?,?的方程组，分别求出?,?，再把???转化为关于变量?的三角函数.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分） 已知数列{an}满足首项为a1?2，an?1?2an，(n?N*)．设bn?3log2an?2
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(n?N*)，数列{cn}满足cn?anbn． （Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列； （Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．
【知识点】等差等比数列的判定、错位相减法求数列的前n项和. 【答案解析】 （Ⅰ）由已知可得，an?a1qn?1?2n，
bn?3log22n?2 ,
?bn?3n?2?bn?1?bn?3,
?{bn}为等差数列，其中b1?1,d?3.
（Ⅱ）cn?anbn?(3n?2)?2,
nSn?1?2?4?22?7?23?......?(3n?2)?2n ①
2Sn?1?22?4?23?7?24?......?(3n?5)?2n?(3n?2)?2n?1 ②
① - ② 得
?Sn?2?3[22?23?24?......?2n]?(3n?2)?2n?1 ,
4(1?2n?1)?2?3??(3n?2)?2n?1 1?2??10?(5?3n)?2n?1 ,
∴Sn?10?(5?3n)?2n?1 .
【思路点拨】根据数列递推关系的特点构造符合等差数列（或等比数列）的结构式，从而根据定义进行判断.使用错位相减法时要特别注意被乘式子的尾项处理. 18．（本小题满分12分）
“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位:岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）
正确 错误
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（Ⅰ）写出2?2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？ 说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
P（K2≥k） 0.10 k
（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为 答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 4321,,,，正确回 54331，且各个问题回答正确与否互 2 不影响．设该选手所获梦想基金总数为?，求?的分布列及数学期望．
n(ad?bc)2 （参考公式K? 其中n?a?b?c?d）
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2
【知识点】独立性检验与离散型随机变量的分布列 【答案解析】18. 解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表， 20~30（岁） 30~40（岁） 合计
正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120 120?(10?70?10?30)2根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3, 20?100?40?80∵3?2.706
∴有1?0.10?90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关． （Ⅱ）?的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000 则P(??1000)?P(?P(?P(?P(?
412?? , 52541313?3000)?????, 5242204131211?6000)??????? , 5242322041312111?11000)???????? , 524232360231123?0)?1????? . 520206060- 8 -
?的分布列为 ? 0 P 1000 3000 6000 11000 311 202060232311?数学期望E(?)?0??1000??3000??6000??11000??1333.33.【思
605202060路点拨】通过二维条形图得到列联表后计算K2与临界值表进行比对，确定结果. ?的所有可能取值是研究分布列的关键，也是求相应概率的依据.
19．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
A B C D 232 605BC?2,AB?AC?AA1?1，D
是棱CC1上的一点，P是AD的延长
线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1． （Ⅰ）求证：CD?C1D；
（Ⅱ）求二面角A1?B1D?P的平面角的正弦值．
A1C1P B1【知识点】 线面平行的判定与性质、利用空间向量方法确定二面角的大小. 【答案解析】（Ⅰ）连接B1A交BA1于O ∵PB1∥平面BDA1，B1P?面AB1P， 面AB1P面BA1D?OD ,
B z A C D ∴B1P∥OD又O为B1A的中点， ∴D为AP中点∴C1为A1P中点 , ∴?ACD??PC1D∴CD?C1D. （Ⅱ）∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?∴AB?AC .
A1C1P y B1x 2,AB?AC?1 , 以A1为坐标原点，以A1B1, A1C1 A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示。 由（Ⅰ）知C1为A1P中点,
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∴点A1,B1,D,P坐标分别为A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，D(0,1,)，P(0,2,0) . 设平面A1B1D的法向量m?(x,y,z), ∵m?A1B1且m?A1D,
12?x?0?∴?取z?2,∴m?(0,?1,2) , 1y?z?0??2同理,平面PB1D的法向量n?(2,1,2). 设二面角A1?B1D?P平面角为?, 则cos??m?n5??，
5|m||n|∴sin??1?cos2??25 . 5【思路点拨】（I）在平面BDA1内寻找直线被PB1平行，而直棱柱侧面为矩形恰好提供了便利.(II)依据直棱柱的棱长数据可以判断垂直关系，为建立空间直角坐标系提供了依据，再按照向量方法去处理. 20．（本小题满分12分）
x2y22A,B已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，离心率e?，是椭圆上的动点．
ab2 （Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）若直线OA与OB的斜率乘积kOA?kOB??1，动点P满足OP?OA??OB, （其2中实数?为常数）。问是否存在两个定点F1,F2，使得PF1?PF2为定值？若存在，求F1,F2的坐标，若不存在，说明理由．
【知识点】椭圆标准方程的确定和定义、求曲线方程的一般方法以及平面向量的坐标运算.
?c?1?【答案解析】20. 解：（I）有题设可知：?c2∴a?2 , ??2?a又b2?a2?c2，∴b2?1，
x2∴椭圆标准方程为?y2?1. 2 - 10 -