板块四.平面向量的应用
典例分析
题型一：向量综合
?????????①(a?b)c?(c?a)b?0 ??????③(b?c)a?(c?a)b
【例1】 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
垂直
????②a?b?a?b
2?不与c?????④(3a?2b)?(3a?2b)?9a??4b2中，
真命题是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【例2】 设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三
??????????角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
????????【例3】 ⑴ 已知A(1,3)，B?3,7?，C(6,0)，D(8,?1)，求证：AB?CD．
⑵ 已知a⑶ 已知a
???(?3,?2)，b?(4,4)．求2a?3b，cos?a,b?．
，若2a?3b，求x、y的值．
?????????(x?y?1,2x?y)，b?(x?y,x?2y?2)???b，c【例4】 关于平面向量a，．有下列三个命题：
．
????????k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3a?c，则b?c．②若a?(1，?????????③非零向量a和b满足a?b?a?b，则a与a?b的夹角为60?．
①若a?b=??其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
【例5】 如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角?OAB，使?B?90?，求点B和向量AB????的坐标．
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【例6】 设A(a，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB1)，B(2，????????在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A．4a?5b?3 B．5a?4b?3 C．4a?5b?14 D．5a?4b?14
【例7】 已知P(x,y)，
????A(?1,0)，向量PA??与m?(1,1)????共线.
（1）求y关于x的函数；
（2）是否在直线y?2x和直线y?3x上分别存在一点B,C，使得满足?BPC为锐角时x取值集合为{x|x??若不存在，说明理由.
【例8】 已知向量a,b满足|a|?|b|?1，且|a?kb|?3|ka?b|，其中k?0.
??（1）试用k表示a?b????，并求出a?b?的最大值及此时a??7或x?7}？若存在，求出这样的B,C的坐标；
?????????与b的夹角?的值；
（2）当a?b取得最大值时，求实数?，使|a??b|的值最小，并对这一结果作出几何解释.
【例9】 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP＝OA＋tABOPOAAB
????????????????????????求：(1) t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
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【例10】 已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，向量OA,OB,OC满足
?????????????32OA?(x?1)?OB?[ln(2?3x)?y]?OC?02 ????????????,记
y?f(x).求函数y?f(x)的解析
式；
????【例11】 已知P??a|a?(1，0)?m(0，1)，m?R?，Q?b|b?(1，1)?n(?1，1)，n?R??是两个
向量集合，则P?Q
题型二：与三角函数综合
?（ ）
A．?(1，1)? B．?(?1，1)? C．?(1，0)? D．?(0，1)?
【例12】 已知向量a?(2cos?,2sin?)，??(?2,?),b?(0,?1)，则向量a与b的
夹角为（ ） A．
3?2
?? B．
?2?? C．???2 D．?
??b，c为?ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m?(3，【例13】 已知a，?1)，
????，则角n?(cosA，sinA)．若m?n，且acosB?bcosA?csinC
B? ．
?sin?)，b?(cos?，?sin?)【例14】 已知向量a?(cos?，??????，且a??b，那么a?b与a?b的夹
角的大小是_______．
【例15】 已知向量a??cos?????⑴求a?b及a?b??3x2,sin??3x?xx?b??cos,?sin?，?2?22??，且x???π?,π??2?.
；
的最大值，并求使函数取得最大值时x的值.
⑵求函数
????f(x)?a?b?a?b大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com
【例16】 若a=?cos?，sin??，b=?cos?，sin??，且ka+b?3a?kb，其中k?0．
（1）用k表示a?b；（2）求当k
?1时，a与b所成角?(0≤?≤π)的大小．
????【例17】 已知向量m=?cos?，2π)，且cos??，??(π，sin??和n=?2?sin?，????π82??cos?，求m+n??5?28
??的值． ????【例18】 设a=(1?cos?，sin?)，b=?1?cos?，sin??，c=??，0?，??(0，π)，??(0，π)，
?π6?a?与c?的夹角为?1，b?与c的夹角为?2（1）用?表示?1；（2）若?1??2，求
sin???4的值．
1)，OB?(1，3sin2x?a)（x?R，a?R，a【例19】 已知O为坐标原点，OA?(2cos2x，????????为常数），若y?????????OA?OB，
（1）求y关于x的函数解析式f(x)；
（2）若x??0，?时，f(x)的最大值为2，求a的值，并指出函数f(x)(x?R)的
?2??π?单调区间．
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【例20】 在锐角△ABC中，已知2cosA?2cosB?3?2cos(A?B)，求角C的度数．
???1π?3??【例21】 设???0，?，向量a??cos?，sin??，b???，??2?2?2???????????⑴证明：向量a?b与a?b垂直；⑵当2a?b?a?2b．
时，求角?．
【例22】 已知点A?2,0?，B?0,2?，C?cos?,sin??，且0???π．
????????????????⑴若OA?OC?7，求OB与OC????????⑵若AC?BC，求tan?的值．
的夹角；
【例23】 已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cos?,3sin?)．
⑴若????π,0?且
????????AC?BC2，求角?的值；
的值．
????????⑵若AC?BC?0，求
2sin??sin2?1?tan?
【例24】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(2,????82)，若a?b?5，且
π4?x?π2.
⑴试求出cos?x???π??4?和tan?x???π?sin2x(1?tanx)求?的值；⑵4?1?tanx的值.
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