数学高二（上）沪教版（数列的实际应用题）教师版 - 图文

年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 数列的实际应用题 能够利用数列通过建模解决一些常见的实际问题，如平均增长率、复利、人口增长、工作效率等问题。 教学内容 教学目的 【知识梳理】 1．数列实际应用题常见的数学模型 （1）复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x期，则本利和y = a(1+r)x . （2）产值模型 原来产值的基数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y = （3）单利公式 利用按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y = a + a·r·x . （4）递推与猜证型 递推型有an+1 = f (an)与Sn+1 = f (Sn)或Sn = f (an)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明. N (1 + p)x . 【典型例题分析】 一、有关等差数列的应用题 例1、由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量. 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解析：设在第n天达到运送食品的最大量. 则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. an=1000+（n－1）·100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列. 依题意，得 1000n+n(n?1)(15?n)(14?n)×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）. 22整理化简得n2－31n+198=0. 解得n=9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量. 评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题. 例2、在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种. 根据上述条件，试问： （1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由） （2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？ 解析：（1）第10年末，依第一方案得 1000+2000+?+10000=55000（元） 依第二方案得300+300×2+300×3+?+300×20=63000（元） ∵63000－55000=8000（元） ∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元. （2）第n年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+?+n）=500n（n+1）（元） 依第二方案，得：a（1+2+3+?+2n）=an（2n+1） 由题意an（2n+1）>500n（n+1）对所有正整数恒成立 500(n?1)2502501000?250??250??. 2n?12n?1331000∴当a>时，总是第二方案加薪多. 3即a>4 7 （ ） （ ） ? ai1 ? 7 12 （ ） （ ） ? ai2 ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai3 ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai4 ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai5 ? ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ? aij ? ? ? ? ? ? ? ? 例3、下表给出一个“等差数阵”： 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数. （1）写出a45的值； （2）写出aij的计算公式； （3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 解析：（1）解：a45=49. （2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1）， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1）， ?? 第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列， 因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. （3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j， 从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1）， 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1）， 从而N=k（2l+1）+l=akl， 可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 变式练习：甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后，几分钟后第1次相遇? （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ n（n－1）解析：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋ ＋5n＝70 2整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）(3分) n（n－1）（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋ ＋5n＝3×70 2整理得：n＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）(7分) 答: 第1次相遇在开始运动后7分钟, 第2次相遇在开始运动后15分钟. 二、有关等比数列的应用题 例1、某市2008年底有住房面积1200万平方米，计划从2008年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2008年底和2009年底的住房面积； （2）求2027年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题. 解析:（1）2008年底的住房面积为 1200（1+5%）－20=1240（万平方米）， 2009年底的住房面积为 1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米）， ∴2008年底的住房面积为1240万平方米，2009年底的住房面积为1282万平方米. （2）2027年底的住房面积为 1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－?－20（1+5%）－20 21.0520?1=1200（1+5%）－20× 0.05≈2522.64（万平方米）， ∴2027年底的住房面积约为2522.64万平方米. 评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 例2、据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题. （1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.0810≈2.159） （2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b1表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b2表示2004年底该市堆积的垃圾数量??bn表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b1；②试归纳出bn的表达20式（不用证明）；③计算limbn，并说明其实际意义. n??解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨.依题意，得 10+x+1.08x+1.082x+?+1.089x=50， 1?1.0810∴·x=40. 1?1.080.08∴x=×40≈2.76万吨. 101.08?1∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨. （2）①b1=50×80%+3=43（万吨）. 4②∵b1=50×80%+3=50×+3， 5444b1+3=50×（）2+3×+3， 5554444b3=b2+3=50×（）3+3×（）2+3×+3， 55554444－－∴可归纳出bn=50×（）n+3×（）n1+3×（）n2+?+3×+3 555541?()n45=50×（4）n+15［1－（4）n］=35×（4）n+15. =50×（）n+3×455551?5b2=③limbn=lim［35×（n??n??4n）+15］=15. 5这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨. 变式练习1：某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是 A.S 32 B.S 34 C.S 36 D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）－x； 二次砍伐后木材存量为［S（1+25%）－x］（1+25%）－x. 由题意知（解得x=525）S－x－x=S（1+50%）， 44S. 36答案：C 变式练习2：从2004年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2010年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元. 解析：存款从后向前考虑 （1+p）+（1+p）2+?+（1+p）5 (1?p)[(1?p)6?1]= p=1［（1+p）7－（1+p）］. p注：2010年不再存款. 答案：1［（1+p）7－（1+p）］ p变式练习3：某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________. 解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列， 1.1a(1?1.15)∴S5==11×（1.15－1）a. 1?1.1答案：11×（1.15－1）a 变式练习4：从盛满a L（a＞1）纯酒精容器里倒出1 L，然后再用水填满，再倒出1 L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精. a?1a?12a?13，（），（），?， aaaa?1a?12a?1n－1故每次倒出的纯酒精为1，，（），?，（），?. aaa解：每次用水填满后酒精浓度依次为∴第九、十两次共倒出的纯酒精为 （a?18a?19a?18a?1）＋（）＝（）（1＋） aaaa(2a?1)(a?1)8＝. a9变式练习5：有一序列图形P1,P2,P3??.已知P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P2，?..，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn. 解：这序列图形的边数构成的数列为：3,3?4,3?4,?,3?4它们的边长构成的数列为：1,,2n?1,?; 111,?,,?. 2n?1333n?11?4??Cn?n?1?3?4n?1?3???3?3?S2比S1多3个面积为. S1的正三角形.即 9S1?3,同理，9S1 S3?S2?2?12,9?S2?S1?S1n?2?3?4,累加得：n?1901n?2n?1S1??4??4??4??S15??4?? Sn?S1?????????????????1????.3??9????9??9??39???9???n?133??4??又S1?,所以Sn??8?3???.420??9????Sn?Sn?1?