数学高二（上）沪教版（数列的实际应用题）教师版 - 图文(2)

三、有关递推的应用题 例1、2010年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. （1）设该县的总面积为1，2010年底绿化面积为a1=4，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1； 10（2）求数列{an}的第n+1项an+1； （3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771） 剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1. 于是a1+b1=1，an+bn=1. 依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分部分是新绿化的面积298an后剩余的面积an，另一1001008bn，于是 100988988an+1=an+bn=an+（1－an） 10010010010092=an+. 102549492（2）an+1=an+，an+1－=（an－）. 51051025444429数列{an－}是公比为，首项a1－=－=－的等比数列. 55105510429∴an+1=+（－）（）n. 5510（3）an+1＞60%，lg24219n39+（－）（）＞，（）n＜，n（lg9－1）＜－lg2，n＞≈6.5720. 1?2lg355521010至少需要7年，绿化率才能超过60%. 例2、据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为a立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量x的最大值是多少？ 解析：设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为?an?,则 a1?a?1???25?5?x?a?x; ?100?4225???5??5? a2?a1??1??x?a??????1?x; ?100??4??4?25?? a3?a2?1???x ?100?3??5?2?5???5? ???a????????1?x; ?4????4??4???依次类推可归纳出 an?an?1?5?x 4n??5?n?1?5?n?2?5??5?? ???a?????????????1?x ?4??4??4?????4??n??5?n??5? ???a?4?1????x. ?4????4???根据题意 20??5?20??5? ??a?4????1?x?4a. ?4?????4???5?利用lg2?0.3可计算出???100,代入得 ?4?8a. x?33即每年砍伐的木材量的最大值是去年储存量的208. 335an?x,可得 4说明 本题通项an也可以不通过类推得出，如用递推公式an?1? an?1?4x?5(an?4x). 45这表明数列?an?4x?是以a1?4x为首项，以为公比的等比数列，那么 4?5? an?4x?(a1?4x)?? ?4?n??5?n??5? ???a?4?1????x?4x, ?4????4???n??5?n??5? an???a?4?1????x. ?4????4??? n?1 【课堂小练】 一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为Vcm3,装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀释，从中倒 出11后用清水兑满，再从中倒出，又用清水兑满，为此反复进行了n次，所得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超1010解：设操作k次后的浓度为ak00过50%，至少要进行多少次操作？ (k?1,2,?),则操作k?1次后的浓度为 9 ak?1%?ak%?, 10a%9即 k?1?. ak9故数列?ak00?是首项为90%，公比为的等比数列，那么操作n次后的浓度为 10?9? an%???. ?10?要使 n?9? ???50%, ?10?只要 n?即至少操作7次. 二、定期复利存款问题 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从1998年起，每年年初到银行新存入a元， 年利率p保持不变，并按复利计算，到2008年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解：从1998年年初到1999年年初有存款b1?a(1?p)元，设第n年年初本息有bn元，第n?1年年初有bn?1元，则有bn?1?(bn?a)(1?p). 将之变形为 bn?1?n?lg2?6.6. 2lg3?1?a(1?p)a(1?p)??(1?p)?bn?? pp??a(1?p)a(1?p)2其中 b1??. pp ?a(1?p)2a(1?p)?为首项，?1?p?为公比的等比数列，于是 ? ?bn??是以pp??an?1 bn??(1?p)?(1?p)??. p?即这个家庭到2008年年初本利可达 三、分期付款的方案 据《经济日报》报道，记者采访建设部侯部长，谈工薪阶层购房问题， 侯部长说：“??造价每平方米1000元左右，还可以采取个人购房抵押贷款的方式，解决一次性付款有困难的问题，比如首先支付40%的房款，剩下的分10年还清。” 若职工小李年初向银行贷款2万元用于购房，购房贷款的年利率优惠为10%，按复利计算，若这笔借款要求分10次等额归还，每年1次，并从借款后次年初开始归还，问每年应还多少元（精确到1元）？ 解：我们先把这个问题作一般化的处理，设某人向银行贷款M0元，年利率为a?100%,按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），并从借款后次年年初开始每次a元等额归还，每N次全部还清. 那么，一年后欠款数 M1?(1?a)M0?a, 两年后欠款数 a11?(1?p)?(1?p)?元. ??pM2?(1?a)M1?a?(1?a)??(1?a)M0?a??a ?(1?a)M0?a?(1?a)?1?, 2 ?? N年后欠款数 MN?(1?a)MN?1?a NN?1N?2(1?a)?(1?a)???(1?a)?1? ?(1?a)M0?a???. 因为MN?0,所以 N?a(1?a)?1???, N (1?a)M0?a a(1?a)NM0 a?. N(1?a)?1这就是每期归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式. 对于上述购房问题，将a?0.1,M0?20000,N?10代入得 20000?0.1?1.110?3254.9（元）. a?101.1?1故每年应还3255元. 四、贷款经营 有一个个体户，一月初向银行贷款10 000元作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为300元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个个体户有多少资金？若贷款的年利息为25%，问这个个体户还清银行贷款后纯收入多少元？ 解：第一个月月底的余款 a1?10000?(1?20%)?10000?20%?10%?300?11500. 设第n个月月底的余款为an元，第n?1个月月底的余款为an?1元，则有 an?1?an?(1?20%)?an?20%?10%?300?1.18an?300. 根据这个递推关系式和a1的值，我们作一般化的处理，这就是人民教育出版社编写的课本上的一道习题： 已知数列?an?的项满足： ?a1?b, ? a?ca?d,n?n?1其中c?0,c?1,则这个数列的通项为， bcn?(d?b)cn?1?d. an?c?1利用这个结论，将有关数据代入： b?11500,c?1.18,d??300,所以 n?12. 11500?1.1812?(?300?11500)?1.1811?300a12? 1.18?1 ?62400（元）. 纯收入为 a12?10　000?(1?25%)?49900（元）. 所以到年底这个个体户有资金62400元，还清银行贷款后纯收入为49900元. 【课堂总结】 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （1）分清是等差数列还是等比数列； （2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n. 3.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识. 4.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样. 5.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便. 6.强化转化思想、方程思想的应用. 【课后练习】 1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f?n?和f?n?1?，则f?n?和f?n?1?的关系为（ ） A f?n??f?n?1??n?1 B f?n??f?n?1??n C f?n?1??f?n??2n D f?n??f?n?1??1 【答案】A 2.某工厂去年产值为a，计划在今年后5年内每年比上半年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为_____________ 【答案】6.71561a 3．从盛满aL?a?1?纯酒精容器里倒出1L，然后再用水填满，再倒出1L混合液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出________________纯酒精。 ?2a?1??a?1? 【答案】a94.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： ①每年年末加1000元；②每半年结束时加300元。请你选择： （1）如果在公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对你而言，若选择两者之一，你会选哪一种？ 【答案】（1）②好 （2）做一年①好，做两年一样好，做三年以上②好 5.某市2003共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少电力型公交车？ （2）到哪一年低，电力型公交车的数量开始超过该市公共车总量的81？ 3【答案】（1）1458 （2）2003+8=2011 6.据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一。根据预测，从2003年起，该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题。 （1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中发，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01）