2015-2016学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷 （文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（?RA）∩B=（ ） A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2} 2．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题
B．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件 C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＜0” D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+2与2﹣平行，则?=（ ） A．﹣ B．﹣ C．
D．
，则（ ）
5．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
6．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为（ ） A．﹣ B．
C．﹣
D．
7．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x?f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3} C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3} 8．为得到函数y=cos（2x+A．向左平移C．向左平移
）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
个单位长度 个单位长度
个单位长度 B．向右平移个单位长度
D．向右平移
9．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ） A．B．（﹣3，0）∪（3，+∞） （﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
11．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果
实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（ ）
A．C．（9，49） B．（13，49） （9，25） D．（3，7） 12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（ ） A．[，+∞）
B．（﹣∞，]
C．[，+∞）
D．（﹣∞，﹣]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ= ． 14．若cos（
）﹣sinα=
，则sin（
）= ．
，则||= ．
15．已知向量，满足||=1，|+|=，且，的夹角为
16．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知
=（cos+sin，﹣sin），
?
=（cos﹣sin，2cos）．
（1）设f（x）=，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
，
]，且f（x1）=f（x2）=1，求x1+x2的值．
（2）设有不相等的两个实数x1，x2∈[﹣
18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不
PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．得超过35微克/立方米，某城市环保部
门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：
PM2.5浓度（微克/立方米） 组别 频数（天） 频率 3 0.15 第一组 （0，25] 12 0.6 第二组 （25，50] 3 0.15 第三组 （50，75] 2 0.1 第四组 （75，100） （Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
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19．PD=DC=2，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．
20．已知A，B，C是椭圆m： +=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，
0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||． （1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围． 21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．
（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值； （2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）﹣2ln2．
选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4．求（2）求证：FG∥AC．
的值．
[选修4～4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），在极坐标系（与
直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程； （2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
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[选修4～5：不等式选讲]
24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M， （1）证明：|a+b|＜；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．
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2015-2016学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（?RA）∩B=（ ） A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2} 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】已知集合A={x|x＞1}，算出?RA，然后根据交集的定义进行求解． 【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，
∴?RA={x|x≤1}，∵B={x|﹣1＜x＜2}， ∴（?RA）∩B={x|﹣1＜x≤1}， 故选B．
2．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性． 【分析】先对函数化简可得f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=
，由周期公式可求T，再检验f（﹣x）与f（x）的
关系即可判断奇偶性
【解答】解：∵f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x =sin2xcos2x+==
+
由周期公式可得T=π，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，即函数f（x）为奇函数 故选A
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题
B．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件 C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＜0” D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 【考点】复合命题的真假．
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