【解答】解：∵cos（sinα=
）﹣
=∴∵sin（∴sin（故答案为：
15．已知向量，满足||=1，|+|=【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由【解答】解：∵化为故答案为2．
16．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是 a＞﹣1 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=
，由此能求出a的取值范围． ，可得
，∴，解得
．
，代入解出即可． ，∴
，
，且，的夹角为
，则||= 2 ．
=， ）=sin（）=，
）=
，
，
【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a． 所以f'（x）=
．
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减． 所以x=1是f（x）的极大值点．
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②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞﹣1． 故答案为：a＞﹣1．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知
=（cos+sin，﹣sin），
?
=（cos﹣sin，2cos）．
（1）设f（x）=，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
，
]，且f（x1）=f（x2）=1，求x1+x2的值．
（2）设有不相等的两个实数x1，x2∈[﹣
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）欲求f（x）的最小正周期，先计算平面向量的向量积，再利用三角函数相关性质化简，最后利用公式求出单调递减区间． （Ⅱ）由于实数即可得到x1+x2的值． 【解答】解：（Ⅰ）由==
=cosx﹣sinx==
，根据所求出的三角函数性质求出这两个实数，求出最小正周期；根据化简得到的三角函数性质易
得f（x）
．
所以f（x）的最小正周期T=2π， 又由得
故f（x）的单调递减区间是（Ⅱ）由f（x）=1得故又
． ，于是有
，得
，
，k∈Z， ，k∈Z、
（k∈Z）、．
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所以．
18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不
PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．得超过35微克/立方米，某城市环保部
门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：
PM2.5浓度（微克/立方米） 组别 频数（天） 频率 3 0.15 第一组 （0，25] 12 0.6 第二组 （25，50] 3 0.15 第三组 （50，75] 2 0.1 第四组 （75，100） （Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表． 【分析】（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；
（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进 【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．
所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． …
其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种． … 所以所求的概率P=
． …
12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
（微克/立方米）．…
因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …
19．PD=DC=2，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【分析】（I）根据中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明PA∥平面BDE；
（II）利用三棱锥的换底性，代入数据计算可得答案． 【解答】解：（I）证明：连接AC交BD于O，连接OE， ∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点， 又E是PC的中点，∴OE∥PA，
PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA∥平面BDE；
（II）∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD为三棱锥P﹣ABD的高，PD=DC=2， ∴VA﹣BDP=VP﹣ABD=×S△ABD×PD=××2×2×2=．
20．已知A，B，C是椭圆m：
+
=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2
，
0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||． （1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．
【分析】（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由?
=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．
=；这样，可以得出点
（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0
时，点M在椭圆内，则﹣2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x1+x2
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的值可得PQ的中点H坐标，由等式②；
由①②可得t的范围．
=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得
【解答】解（1）如图所示，
∵又 由a=
=2，且BC过点O（0，0），则?=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C
，可设椭圆的方程m：
；
；
，
将C点坐标代入方程m，得
，解得c2=8，b2=4；
∴椭圆m的方程为：；
（2）如图所示，
由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t）， ∴1°当k=0时，显然﹣2＜t＜2， 2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则
，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0；
由△＞0，可得t2＜4+12k2 ① 设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）； 则x0=
=﹣
，y0=kx0+t=
，∴H
；
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