第一部分 数列的基础知识
等差数列
一 定义式： an?an?1?d 二 通项公式：an???am?(n?m)d
?a?(n?1)d?1一个数列是等差数列的等价条件：an?an?b(a，b为常数)，即an是关于n的一次函数，因为n?Z，所以an关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n项和公式：
Sn?n(a1?an)n(n?1)?na中间项 ?na1?d
222一个数列是等差数列的另一个充要条件：Sn?an?bn(a，b为常数，a≠0)，即Sn是关于n的二次函数，因为n?Z，所以Sn关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a与b的等差中项A?a?b；
2在等差数列?an?中，若m?n?p?q，则
am?an?ap?aq；若m?n?2p，则am?an?2ap；
3.若等差数列的项数为2nn?N?，则S偶?S奇?nd，
??S奇S偶?an； an?1若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1?2n?1an，且S奇?S偶?an，
????S奇S偶?n n?14.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设A?a1?a2???an,，
B?an?1?an?2???a2n，
C?a2n?1?a2n?2???a3n，则有2B?A?C；
5.a1?0,Sm?Sn,则前Sm?n(m+n为偶数)或Sm?n?1(m+n为奇数)最大
22
等比数列
an?q(n?2,an?0,q?0)?{an}成等比数列。 一 定义：an?1
1
二 通项公式：an?a1qn?1，an?amqn?m
数列{an}是等比数列的一个等价条件是：
Sn?a(bn?1),(a?0,b?0，1）当q?0且q?0时，an关于n的图像是指数函数图像的分
点表示形式。
(q?1)?na1?n三 前n项和：Sn??a1(1?q)a1?an?1q；(注意对公比的讨论)
?(q?1)?1?q1?q?四 性质结论：
1.a与b的等比中项G?G?ab?G??ab(a,b同号)； 2.在等比数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
若m?n?2p，则am?an?ap；
3.设A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，
22C?a2n?1?a2n?2???a3n， 则有B2?A?C
求通项公式an的基本方法
一． 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
an?1?1?an?1，
2an?1?1111两边取倒数??2??{}是公差为2的等差数列an?1?1an?1an?1例如：
?11??2(n?1)，从而求出an。 an?1a1?1第二类：
(n2?1)an?n2an?1?n(n?1)?
n?1n?n?1?an?是公差为1的等差数列 an?an?1?1??nn?1?n?n?11?12n?an?a1?an?
n1n?1二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如an?nan?1?an?nn??1a?n?2?????an?na!1
1】 【注: n!?n(n?1)(n?2)?求通项公式an的题，不能够利用构造等比或者构造等差求an的时候，一般通过递推来求an。
2
求前n项和Sn
一 裂项相消法： 1111??????11111?22?33?4（nn?1）1,2,3,4,?的前n和是：39278111111111(?)?(?)?(?)???(?)、
1111122334nn?1（+12+3+4+?）+（+++??）11n392781???1n?1n?1二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法， 求：
Sn=x?3x2?5x3???(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn (x?1)Sn=x?3x2?5x3???(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn (x?1)① xSn=x2?3x3?5x4??(2n-5)xn-1?(2n-3)xn?(2n-1)xn+1 (x?1)② ①减②得：
(1?x)Sn=x??2x2?2x3???2xn-1?2xn???2n?1?xn+1?x?2x2?1?xn-1?1?x??2n?1?xn+1
从而求出Sn。
错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式 (3)用①?②，错位相减 (4)化简计算
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
例：等差数列求和：
Sn=a1?a2?a3???an?2?an?1?anSn=an?an?1?an?2???a3?a2?a1两式相加可得：
2Sn=?a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????a3?an?2???a2?an?1???a1?an??n?a1?an??Sn
3
第二部分 数列通项公式的求和方法
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
nan?1an3an?1an3an，则，故数列????{}是n?1nn?1nn2222222an3a23以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，?1?(n?1)??1n12222231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。
22解：an?1?2an?3?2两边除以2n?1，得
n二、累加法
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。
2
，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1解
：
由
nan?1?an?2?3n?1得
an?1?an?2?3n?1则
4
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.
n
，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1解：an?1?3an?2?3?1两边除以3则
nnn?1，得
an?1an21?n??n?1， n?13333an?1an21?n??n?1，故 n?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?332313212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333
1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322三、累乘法
例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
nan?1?2(n?1)5n，故an 5