an?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足
a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
②
①
故
an?1?n?1(n?2) ananan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22所以an? ③
由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?四、待定系数法
n!。 2n!. 2例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
n解：设an?1?x?5
n?1?2(an?x?5n)
④
6
将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5得3?5?x?5nn?1nnn?1?2an?2x?5n，等式两边消去2an，
x?2x则,x??代1入④式得?2x?5n，两边除以5n，得3?5
⑤
an?1?5n?1?2(an?5n)
an?1?5n?1n?2{a?5}是以由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列nnan?51na1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。
例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1n?y?3(an?x?2n?y)
⑥
将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得
n3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。
nn?5?2x?3x?x?5令?，则?，代入⑥式得
4?y?3yy?2??an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)
1 ⑦
由a1?5?2?2?1?12?13?0及⑦式，
an?1?5?2n?1?2?3， 得an?5?2?2?0，则nan?5?2?2n故数列{an?5?2?2}是以a1?5?2?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此an?5?2?2?13?3nn?1n1，则an?13?32n?1?5?2n?2。
例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
7
解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧ 将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得
2222an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z
等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z，
22?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得
?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨
由a1?3?1?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n?10n?18?0
22an?1?3(n?1)2?10(n?1)?182?2{a?3n?10n?18}为以则，故数列n2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
五、对数变换法
例10 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)
⑩ 11 ○
n5n5n5?lg?2xn(?将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg3?1)y?5(lgan?xn?y，两边消去
5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则
8
lg3?x???lg3?x?5x?4，故? ??x?y?lg2?5y?y?lg3?lg2?164?代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg212 (n?1)???5(lgan?n??) ○
41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg212式， ?1???lg7??1???0及○
41644164lg3lg3lg2n???0， 4164则
lgan?1?lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan?n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等n??}是以lg7???41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1比数列，则lgan?n???(lg7???)5，因此
41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??4164464141614n?1n4?(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614
?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?14则an?75?3六、迭代法
5n?4n?116?25n?1?14。
例11 已知数列{an}满足n?1a?a3(n?1)2nn，a1?5，求数列{a}的通项公式。
n3(n?1)2解：因为an?1?an，所以nna?a3n?2n?1n?1?[a9
3(n?1)?2n?23n?2n?1 n?2]
?a32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)n?23(n?2)?2n?3n?3?[a?a?a]32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)n?3??3n?1?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)1n?1n(n?1)?n!?22
3?a1又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1?n!?2n(n?1)2。
n3(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?an两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan，即
nlgan?1?3(n?1)2n，再由累乘法可推知lgann(n?1)3n?1?n!?22lganlgan?1lga3lga2lgan???????lga1?lg5lgan?1lgan?2lga2lga1而
，从
an?53n?1?n!?2n(n?1)2。
七、数学归纳法
例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，求数列{an}的通项公式。 ，a?1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 122(2n?1)(2n?3)9 10