河北联合大学矿业工程学院 边形称为空间切割面。因此，我们这里讨论的空间切割面不是一个平面，它是一个有边界点的多边形。在计算土方量时，要求用户给出这个面内的任意不在同一直线上的三点的三维坐标，根据这三点可以建立这个平面方程。然后根据空间切割面边界点的X、Y坐标，由平面方程，可计算出各点的高程。
图2.4所示三角棱柱与空间切割面关系图(a)、(b)、(c)，图中A2B2C2为三角网中的一个三角形，A1、B1、C1为三角形A2B2C2在垂直方向上向上下延伸后与空间切面P的交点，根据A1、B1、C1与A2、B2、C2三点的空间关系分成三种情况：空间切割面切割三角棱柱时仅有挖方量，如图2.4(a)，A2、B2、C2三点高程分别大于A1、B1、C1的高程，土方量计算部分是一个三棱柱，体积为土方计算中的挖方量；仅有填方量，如图2.4(b)，A2、B2、C2三点的高程分别小于A1、B1、C1三点的高程，土方量计算部分也是一个三棱柱，其体积为土方量计算中的填方量；既有挖方量又有填方量，如图2.4(c)，三角形A2B2C2与三角形A1B1C1相交与E、F两点。土方量计算有两部分，填方量部分A1A2EF(三棱锥)，挖方量部分EFB1C1C2B2(楔形)。
(a) (b) (c)
图2.4 三角棱柱与空间切割面关系
由于空间切割面具有边界性，边界线势必与三角网中部分三角形相交，与空间切割面P的边界线相交的三角形我们称为边界三角形，解决边界三角形的土方量计算问题是土方量计算中的难点。我们可以利用空间切割面的边界线的平面方程(只含X、Y两个未知数)和三角形中与空间切割面相交的一条边的平面方程求出交点的平面坐标(X、Y)，然后根据距离比与高差比相等的关系，可求出交点的
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第2章 土石方计算原理
高程。如图2.5所示，表现出了边界三角形与切割面的关系。三棱柱
ABC-A1B1C1上帝上边界三角形
ABC其投影为A1B1C1的。三角形ABC边AB与空间切割面P(其顶点为P1P2P3P4)的边界线P1P2的交点为E，已知边界线P1P2和三角形边AB所在的直线平面方程由公式(2.1)和(2.2)：
A1X?B1Y?C1?0 (2.1) A2X?B2Y?C2?0 (2.2)
图2.5 边界和空间切割面的关系 利用式(2.1)、(2.2)可求出交点E的X、Y值，设E点的高程为He，由于A、B、E三点共线，故有：
?Ha?He?/?He?Hb??Sae/Seb (2.3)
其中Sae、Seb分别表示AE、EB两线段的距离(利用X、Y坐标计算)，用式(2.3)可计算出交点E的高程He。 He??SebHa?SaeHb?/?Seb?Sae? (2.4)
2.1.5 土方量的计算 空间切割面与三角网结构DTM相交时，使得不同的三角形与空间切割面有不同的关系，土方量计算的形状各不相同，所以有必要讨论多边形棱柱(锥)的体积计算原理。这里讨论的多边形棱柱是一个上、下底面不平行，下底面不水平，棱铅垂的一般多边形棱柱。
(1)一般多边形棱柱的体积
(2)如图2.6所示，多边形棱柱ABCD-A1B1C1D1体积的基本公式为(2.5)：
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图2.6 多边形棱柱
河北联合大学矿业工程学院 V?Sh (2.5)
式中，S为多边形棱柱底面在水平面上投影的面积，可以用A，B，C，D的平面坐标(xi，yi)按公式(2.6)计算
1nS???yi?yi?1??xi?xi?1? (2.6)
2i?1其中，n为棱柱底面多边形的边数，yn?1?y1，xn?1?x1；h为多边形棱柱各棱长的平均值，即公式(2.7)
h??h1?h2?......?hn?/n (2.7) 各棱长可以由上、下底边界点的高程求得，即公式(2.8) h1?HA1?HA，h2?HB1?HB (2.8)
(2)多边形棱锥的体积
图2.7 多边形棱锥
如图2.7所示，多边形棱锥体积的基本公式(2.9)为
V?Sh/3 (2.9)
式中，S仍按式(2.6)计算；h表示棱锥的高，用E点的高程减去多边形底面各边界点高程的平均值求得。
(3)楔形的体积
楔形是一个特殊的柱体形状，如图2.8所示的楔形图，已知A、B、C、D、E、F各点的三维坐标，计算楔形的体积。解法如下：
图2.8 楔形
①计算底面ABCD的投影面积，计算方法同上；
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第2章 土石方计算原理
②计算楔形的高，利用E、C、F、D的高程计算高差Hec、Hfd，楔形高为两高差的平均值为公式(2.10)：
h?(Hec?Hfd)/4 (2.10)
③楔形体积
V?Sh (2.11)
所以由以上所知当三角形的三个角点全部为挖或全部为填时计算式为
S(h1?h2?h3) (2.12) V?3式中S为三菱柱底面积，H1、H2、H3为三角形各角点的施工高度，单位m，用绝对值代入。 当三角形三个角点有挖有填时，零线将三角形分成两部分，一个是底面为三角形的锥体，一个是底面为四边形的楔体。H3指的是锥体顶点的施工高度．其中，锥体部分和楔体部分的体积为： 3Sh3 (2.13) V锥?3(h1?h3)(h2?h3)3Sh3s(h1?h2?h3)V楔?? (2.14) 3(h1?h3)(h2?h3)32.1.6 三角网法土方量计算误差探讨 理论上说，基于DTM的土方量计算法适用于任何情形，DTM的精度是影响土方量计算准确与否的主要因素。由于实际地形的非平稳性。DTM的精度主要取决于原始采样点的密度和分布以及地形特征顾及与否。其中DTM误差的一种来源是对自然真实表面的采样过程。这种误差出现在从原始资料产生地面点的过程中．误差是由原始资料本身的不合适性和使用的仪器引起的。我们可以采取一些措施尽量减小它。使之达到误差允许的范围内。DTM误差的另一种来源是重新采样，即在保留了与原始地面较为逼近的情况下，将由原始数据派生的数据压缩成易于管理的过程中，这是一种性质不同的处理。因为提取的信息在很大程度上受采样区间和所用插值方法的影响。DTM误差的表达和研究涉及到DTM与实际地面的平均偏差．也涉及误差的分布和误差的非随机空间分量。对于一个实际应用问题．要确定一个合适的DTM，则基本上依赖于研究对象所要求的精度，采样方法以及对地形变化的敏感度。总之，DTM的精度取决于采样密度、测量
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河北联合大学矿业工程学院 误差(偶然误差．系统误差和粗差)、地形类别、高程点数目和位置等。影响精度的主要元素是数据获取，通过选择适当的内插法，可以获取基本相同的精度[50]。
2.2 方格网法
2.2.1 方格网法简介
方格网法计算土石方的原理是指根据工程建设的需要人为地将土石方施工场地按照一定的横向和纵向间距建立方格线(一般横向间距与纵向间距相等)，以此划分出若干个平面尺寸相同的方格；在依据各方格四个节点的标高与设计标高，计算出各方格节点的高程；运用体积计算公式得出各个方格的士石方体积，最后进行汇总得出总的土石方工程量。方格网法对于大面积的土石方估算以及一些地形起伏较小、坡度变化平缓的场地适宜用。
方格网的布设根据地形复杂程度、地形图的比列尺以及估算的精度不同而异。使用1：500地形图时，根据地形复杂情况，一般以10米或20米为宜。当采用机械施工时，可取40米或100米。 方格网法的特点是通过化整为零，先细分再汇总的办法来解决土石方工程量计算问题。在实施方格网法时需要注意的问题：方格网布设的起始边线要合理；方格网的纵横间距布设要适当；在具体实施时要加强方格网节点的管理是将场地划分成若干个正方形格网，然后计算每个四棱柱的体积，再将所有四棱柱的体积汇总得到总的土石方量。所以方格网法计算土石方量的精度取决于采集数据密度的大小，同时和方格网的大小有关，方格网越小，精度越高。
2.2.2 计算设计高程
在满足填挖方量基本平衡的前提下，设计高程可以认为是场地的平均高程。但计算时不能简单的取各方格点的算术平均值。因为与各格网点高程相关的方格数不同，也可理解为各方格网点高程的权不一样。如果假设与一个方格相关的方格点，其高程权为1，与两个方格相关的方格点，其高程权为2，与三个方格相关的方格点，其高程权为3，与四个方格相关的方格点，其高程权为4，则可利用求加权平均值的方法计算设计高程，其一般式(2.15)为：
H??HiPii?1n?Pii?1n (2.15)
式(2.15)中，H为各方格网点的加权平均值；Hi为各方格网点的地面高程；
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