1??2pt?1,p?,??2?p5?1??,?t?1.?24?【解答】(1) 由题意知得?
(例1)
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m), 由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).
?y12?x1,?2由?y2?x2,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.
故k·2m=1.
1所以直线AB的方程为y-m=2m(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
?x-2my?2m2-m?0,?2由?y?x,
消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0, y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.
1?1k2·|y1-y2|
从而AB=221?4m4m-4m=·. 设点P到直线AB的距离为d,
|1-2m?2m2|则d=1?4m2. 122m-m2设△ABP的面积为S,则S=AB·d=|1-2(m-m)|·. 由Δ=4m-4m2>0,得0 12m-m令u=,0 ?6?6?0,1?6??????2??,所以S(u)max=S?6?=9.故△ABP面积的最大值6由S'(u)=0,得u=∈ 6为9. 【点评】解析几何中最值问题的基本思路是建立求解目标关于某个变量的函数,通过求解函数最值解决问题.求解参数范围的思路与此类似,即建立求解目标关于某个变量的函数,通过函数值域求解其范围. ?2c?2,?2?a??2,【练习】 【解答】(1) 由题意得?c解得c=1,a2=2,所以b2=a2-c2=1. x2所以椭圆的方程为2+y2=1. ?x-y?1?0,?2?x2??y?1,(2) 因为P(0,1),F1(-1,0),所以PF1的方程为x-y+1=0.由?2解得 4?x?-,??3??x?0,?41??y?-1,??-,-??y?13所以点Q的坐标为?33?. ?或?方法一:因为 kPF1· kPF2=-1,所以△PQF2为直角三角形.因为QF2的中点为 ?11?52?-,-??66?,QF2=3, 1??1?25?x?y????6?+?6?=18. ?所以过点P,Q,F2的圆的方程为???1?E?F?0,??1?D?F?0,?1741?-D-E?F?0,22 方法二:设过P,Q,F2三点的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,则?933 221?D?,?3?1??E?,3?4?F?-.?3 解得?114所以圆的方程为x2+y2+3x+3y-3=0. ????????FPQF(3) 方法一:设P(x,y),Q(x,y),则1=(x+1,y),1=(-1-x,-y). 1 1 2 2 1 1 2 2 ?x1?1??(-1-x2),?????????FPQF11,所以?y1?-?y2,因为=λ即 ?x1?-1-?-?x2,??y1?-?y2, ?(-1-?-?x2)222??y2?1,??2?2?x2?y2?1,2?2?所以 1-3?解得x2=2?. ????????所以OP·OQ=x1x2+y1y2 2y=x2(-1-λ-λx2)-λ2 ?2x22=--(1+λ)x2-λ ??1-3??1-3???=-2?2??-(1+λ)·2?-λ 75???1???8???. 4=-2?1?111,2?·?2??=2,当且仅当λ=?,即λ=1时取等号. ?,所以λ+?≥2因为λ∈?11????????????????所以OP·OQ≤2,即OP·OQ的最大值为2. 2x2方法二:当PQ的斜率不存在时,在2+y2=1中,令x=-1得,y=±2. ?2??1?21-??,2??????????2??OQ2?=2,此时λ=1∈??. 所以OP·=(-1)×(-1)+2×?当PQ的斜率存在时,设为k,则PQ的方程是y=k(x+1). ?y?k(x?1),?2?x2??y?1,由?2得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. -4k22k2-222由韦达定理得x1+x2=1?2k,x1x2=1?2k. 设P(x1,y1),Q(x2,y2). ????????则OP·OQ=x1x2+y1y2 =x1x2+k(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2 2 2k2-2-4k22222 1?2k1?2k=(k+1)·+k·+k2 k2-22=1?2k 5112=2-2(1?2k)<2. ?1?1,2??????????OQ2?. 故OP·的最大值为2,此时λ=1∈? 考点3 圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题” 1【例1】 【分析】(1) (条件)PA与PB的斜率之积为-2?(目标)求点P的轨迹方 程?(方法)直接设点代入; (2) (条件)椭圆方程、直线系过点(1,0)等?(目标)直线MQ恒过定点?(方法)以参数表达直线系方程、代入椭圆方程,设出M,N的坐标,得出点Q坐标,设出直线系MQ的方程,证明直线过定点. yy1【解答】(1) 由题意知x?2·x-2=-2, x22 化简得2+y=1(y≠0),即为双曲线C的方程. x2(2) 方法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,代入2+y2=1(y≠0),整理得(m2+2)y2+2my-1=0, -2m-122所以y1+y2=m?2,y1y2=m?2, y1?y2MQ的方程为y-y1=x1-x2(x-x1), y1(x2-x1)my1(y2-y1)2my1y2令y=0,得x=x1+y1?y2=my1+1+y1?y2=y1?y2+1=2, 所以直线MQ过定点(2,0). 方法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:y=k(x-1), x2代入2+y2=1(y≠0),整理得