4k22k2-222(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=1?2k,x1x2=1?2k,
y1?y2MQ的方程为y-y1=x1-x2(x-x1),
y1(x2-x1)k(x1-1)(x2-x1)2x1x2-(x1?x2)令y=0,得x=x1+y1?y2=x1+k(x1?x2-2)=x1?x2-2=2.
所以直线MQ过定点(2,0).
【点评】解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数建立直线系方程,然后再根据直线系方程过定点时,方程的成立与参数没有关系,得到一个关于x,y的方程组,以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同.
2a?1. 【练习】 【解答】(1) 设F(c,0),因为b=1,所以c=?cc?11?,-?直线OB的方程为y=-ax,直线BF的方程为y=a(x-c),解得B?22a?. ?c?13?c,?
又直线OA的方程为y=ax,则A?a?,kAB=a.
x23?-1???a又因为AB⊥OB,所以·?a?=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为3-y2=1.
x0x-3x0x(2) 由(1)知a=3,则直线l的方程为3-y0y=1(y0≠0),即y=3y0.
?2x0-3??2,?3y0?, 因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点M??3?x-3?320??,?323y0???, 直线l与直线x=2的交点为N?4(2x0-3)2MF22229[y?(x-2)]. NF00则=
2x02y30因为点P是C上一点,则-=1,代入上式得
4(2x0-3)22?x04(2x0-3)22?MF24MF239-1?(x-2)0??22NF2=9[y0?(x0-2)]=?3?=3,所以定值为NF=3.
考点4 探究性问题中“瓶颈题”
【例4】 【分析】(1) (条件)椭圆离心率、MB1⊥MB2?(目标)得出椭圆方程?(方法)列方程求解椭圆方程需要的a,b;
(2) (条件)椭圆方程?(目标)直线与椭圆交于两点A,B,判断x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB?(方法)判断点P是否存在,先假设其存在,把几何条件转化为代数条件后得关于点P坐标的方程,这个方程对任意变动的直线恒成立时,若点P的坐标有解则存在,否则不存在.
??a2-b2b2?5?b2??223?【解答】(1) 由题意得a=1-a=?,即a=3.
2依题意,得△MB1B2是等腰直角三角形, 从而b=2,故a=3.
x2y2所以椭圆C的方程是9+4=1.
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,
消去x,得(4m2+9)y2+16my-20=0.
-16m-2022所以y1+y2=4m?9,y1y2=4m?9.
若PM平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,
y2y1x-n所以kPA+kPB=0.设P(n,0),则有x1-n+2=0.
将x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,
2my1y2?(2-n)(y1?y2)整理得(my1?2-n)(my2?2-n)=0, 所以2my1y2+(2-n)(y1+y2)=0.
-16m-2022将y1+y2=4m?9,y1y2=4m?9代入上式,
整理得(-2n+9)·m=0.
9由于上式对任意实数m都成立,所以n=2.
?9??,0?
综上,存在定点P?2?,使PM平分∠APB.
【点评】本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制,解题中需要把已知的几何条件逐步转化为代数条件,充分体现了等价转化思想的应用.
?p??,0?【练习】 【解答】(1) 由题意知F?2?,
?p?2t?,0???, 设D(t,0)(t>0),则FD的中点为?4pt-p因为FA=FD,由抛物线的定义知3+2=2,
解得t=3+p或t=-3(舍去).
3?p?3???6p22??=由,解得p=2. 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2) ①由(1)知F(1,0),
设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为FA=FD,则|xD-1|=x0+1, 由xD>0,得xD=x0+2,所以D(x0+2,0),
y0故直线AB的斜率为kAB=-2,
因为直线l1和直线AB平行,
y0设直线l1的方程为y=-2x+b,
88b代入抛物线方程得y2+y0y-y0=0, 6432b22y0由题意知Δ=+y0=0,得b=-y0. 442yy00设E(xE,yE),则yE=-,xE=.
yE-y02y0当≠4时,kAE=xE-x0=-
4?y0y024y0-2y044y02y0=-4,
4y02y0可得直线AE的方程为y-y0=-4(x-x0),
4y022yy00由=4x0,整理可得y=-4(x-1),
直线AE恒过点F(1,0).
2y0当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),
所以直线AE过定点F(1,0). ②由①知,直线AE过焦点F(1,0),
?1?1?1??x所以AE=AF+FE=(x0+1)+?0?=x0+x0+2, 设直线AE的方程为x=my+1,
x0-1因为点A(x,y)在直线AE上,故m=y0.
0
0
y0设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-2(x-x0),
2由于y0≠0,所以x=-y0y+2+x0, 8代入抛物线方程得y2+y0y-8-4x0=0, 8所以y0+y1=-y0,
84可求得y1=-y0-y0,x1=x0+x0+4,
所以点B到直线AE的距离为
?48??x0?4?m?y0??-1x0y0??d=1?m2 4(x0?1)=x0 ?1??x0???x0???. =4
?1?11?x0???x0???(x0+x0+2)≥16, 2则△ABE的面积S=×4
1当且仅当x0=x0,即x0=1时等号成立.
所以△ABE的面积的最小值为16.
考点5 解析几何中的证明问题
【例5】 【分析】本题主要考查直线的方程及椭圆和抛物线的标准方程,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.