2?y12??y2?-y12,y2-y1??????,y1??????4?RS?4?, 所以QR=?,=
222y(y-y)121????????16由QR·RS=0,得+y1(y2-y1)=0,
?16?y??1?y1?, 因为y1≠y2,所以y2=-?2562562256y·122222y12yyyyy21111所以=++32≥2+32=64,当且仅当=,即y1=±4时等号成立.
2?y2?21?y2??????2(y2?8)2-644又|QS|=??=4, 22yy22因为≥64,所以当=64,即y=±8时,
2
2????
|QS|min=85, ????
故|QS|的取值范围是[85,+∞).
6. (1) 设Q(x1,y1)(x1>0),得FQ=a-ex1,由PQ是圆x2+y2=1的切线,PQ=OQ2-OP2212=x12?y12-121, 2??x1xx??1-2?-1?1-1?x2?22?1aya????=ex1,所以PQ+FQ=a. a注意到+1=1,PQ==a2-13(2) 由题意得e=a=2,所以a=2.
方法一:设直线QR的方程为y=kx+m,因为点P在第一象限,所以k<0,m>0.
?y?kx?m,?2|m|?x?y2?1,2?22
由直线QR与圆O相切,所以k?1=1,所以m=k+1.由?4消去y,得8km2(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-1?4k.
3?8km?|k|m|k|m?-2?222由(1)知,QR=e(x1+x2)=2?1?4k?=43·1?4k=43·m?3k,因为m2+3k2≥
123m|k|,所以|QR|≤43·23=2. 当且仅当m=-3k时,QR取最大值2,此时直线QR的方程为y=k(x-3),过焦点F. 方法二:设P(x0,y0),Q(x1,y1),R(x2,y2), 则直线QR的方程为x0x+y0y=1.
?x0x?y0y?1,?22x?4y?4,消去y得 ?由
2222yxy000(+4)x-8xx+4-4=0,
0
8x022y?4x00则x1+x2=,
8x0222xy1?3x000, 因为+=1,所以x1+x2=
118x0x013?3x022x01?3x1?3x33200由(1)知,QR=e(x1+x2)=·=4·=4·,因为x0+3x0≥23, 1所以QR≤43·23=2, ?36?3??3,3????,直线QR过焦点F. 当且仅当x0=3时,QR取最大值2,此时P
方法三:由(1)同理可求PR+FR=2,则QR+QF+FR=4,QR≤RF+FR,2QR≤QR+QF+FR=4,所以QR≤2,当且仅当直线QR过焦点F时等号成立,从而QRmax=2.