第一章 习题
1. 思考题
（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？
（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？
（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？
（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？
（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？
（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2. 建立下列问题的线性规划模型：
（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：
表1-18 产品 原料单耗 机时单耗 利润 A 2 2.5 10 B 3 3 14 C 5 6 20 资源数量 2000 2600 另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。试制定使总利润最大的模型。
（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。
表1-19 合金品种 含铅% 含锌% 含锡% 单价（元/kg） 1 30 60 10 8.5 2 10 20 70 6.0 3 50 20 30 8.9 4 10 10 80 5.7 5 50 10 40 8.8 如何安排配方，使成本最低？
（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
1
表1-20
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00－10:00 10:00－14:00 14:00－18:00 18:00－22:00 22:00－2:00 2:00－6:00 最少人数 60 70 60 50 20 30 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？
（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？
1.7 3 3
1.4 1.4
图1-6
3. 用图解法求下列线性规划的最优解：
(1) min z?4x1?6x2? x1?2x2?1? 4x?3x?1.5 ?12 ???x1?2x2?4??x1,x2?0
(2) max z?4x1?4x2? 2x1?3x2?10??x ?x?5?12 ?? x1?2x2?8??x1,x2?0(4) max z?x1?3x2
(3) max z?6x1?9x2? 2x1?3x2?22??2x ?x?412?? ? 4x1?5x2?0? x2?6???x1,x2?0
2
?4x1?3x2?12 ? ?x ?x?1?12?x,x?0?124. 把下列线性规划化为标准形式：
(1) min z??x1?2x2?x3(2) max z?2x1?3x2?? x1 ?x3?x4?1? ??2x1 ?x2?x3 ??2
?x1?2x2?8 ??3x??x1 ?x2 ?1 1 ?x2?x3?x4?1??x1 ?2?x1?0,x2,x3?0x4无约束??x1?0,x2无约束
5. 判定下列集合是否凸集：
（1）R1=｛(x1,x2)|x12+2x22≤2｝
（2）R2=｛(x1,x2)|x12－2x2+3≥0,x2≥0,|x1|≤1｝ （3）R3=｛(x1,x2)|x1x2≥1,x1≥1,x2≥0｝
6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。
max z?3x1?5x2??x1 ?x3 ?48 ?? 2x2 ?x4 ?12 ?3x1 ?2x2 ?x5?18??xj?0, j?1,?,5
7. 求下列线性规划的解： （1）
（2）
max z?3x1?5x2?2xmax z?2x1?4x2?1 ?8
?? x2 ?6
? x1?2x2 ?4 ?x
?3x??x1?2 ?11 ?2x2?18???x?x1,x2?01,x2?0（3）
（4）
max z?2xmax z?2x1?x2?x31?x2?
??x1?2x2??2?3x1?x2?x3?60 ???x
??x1?x2?2x3?10 1?x2?1??x1,x2?0?x1?x2?x3?20??x1?0,x2?0,x3?0
3
8. 利用大M法或两阶段法求解下列线性规划： （1）
（2）
max z?3x1?2x2
max z?2x1?x2?x3
?x1?2x2?7?x?x?1?2 ?1?x1?x2?2??x1,x2?0
?3x1?2x2?x3?18?2x?x ?4 ?12 ??x1?x2?x3?5??x1,x2,x3?0（3） （4）
max z??x1?x2
?4x1?3x2?12?3x?x ?6 ?2 ?1x2 ?2? ??x1,x2?0min z?x1?3x2?4x3?3x4
?3x1?6x2?x3?2x4?15 ? ?6x1?3x2?2x3?x4?12?x,x,x,x?0?12349. 对于问题
max z?CX?AX?b ??X?0（1）设最优解为X*，当C改为C时，最优解为X，则(C?C)(X*?X)?0。 （2）如果X1，X2均为最优解，则对于α∈[0，1]，αX1+（1－α）X2均为最优解。 10. 用单纯形法求解问题2（4）（合理下料问题）。
11. 表1-21是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x4，x5，x6是松弛变量。
表1-21 cj CB 2 XB b 2 1 4 2 2 x1 x2 x3 1 -1 2a x4 2 1 -1 -1 x5 x6 -1 -2 -a+8 x5 x2 x1 σj （1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子。 （2）要使上表成为最优表，a应满足什么条件？ （3）何时有无穷多最优解？ （4）何时无最优解？ （5）何时应以x3替换x1？
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第二章习题
1. 思考题
－
（1）如何在以B为基的单纯形表中，找出B1？该表是怎样由初始表得到的？ （2）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律？ （3）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解？ （4）叙述互补松弛定理及其经济意义。
（5）什么是资源的影子价格？它在经济管理中有什么作用？
（6）对偶单纯形法有哪些操作要点？它与单纯形法有哪些相同，哪些地方有区别？ （7）灵敏度分析主要讨论什么问题？分析的基本思路是什么？四种基本情况的分析要点是什么？
2. 已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表2-21，请把表中空白处的数
－
字填上，并指出最优基B及B1。
表2-21 cj CB 0 0 0 0 2 -1 XB b 2 -1 1 0 0 0 x1 3 1 1 2 x2 1 -1 1 -1 x3 1 2 -1 1 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0 0 -1 1/2 -1/2 x6 0 0 1 0 -2 1/2 1/2 x4 x5 x6 σj x4 x1 x2 σj 10 15 5 3. 某个线性规划的最终表是表2-22：
表2-22
cj CB 0 1 -2 XB b 13/2 5/2 1/2 0 1 -2 0 0 x1 1 0 0 0 x2 0 1 0 0 x3 0 0 1 0 x4 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 x5 5/2 3/2 1/2 -1/2 x1 x2 x3 σj 初始基变量是x1，x4，x5。
（1）求最优基B=（P1，P2，P3）； （2）求初始表。
4. 写出下列线性规划的对偶问题：
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