(1) max z?3x1?x2?x3??x1?2x2?x3?4 ???x1?2x2?4x3?1 ?x1?x2?3x3?1??x1?0,x2?0,x3无约束(2) min z?2x1?x2?3x3?x4??x1?2x2?x3?x4?4 ???x1?x2?2x3 ?2 ?2x1 ?x3?2x4?1??x1?0,x2?0,x3,x4无约束n(3) max z??cjxjj?1?n??aijxj?bi,i?1,2,?,m1?j?1?n???aijxj?bi,i?m1?1,?,m2j?1 ??n??aijxj?bi,i?m2?1,?,m?j?1?xj?0,j?1,?,n?1?xj无约束,j?n1?1,?,n2??xj?0,j?n2?1,?,nmn(4) min z???cijxiji?1j?1?n??xij?ai i?1,?,m?j?1m ????xij?bj j?1,?,n?i?1??xij?0??i?1,?,m j?1,?,n5. 已知线性规划
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min z?c1x1?c2x2?c3x3?a11x1?a12x2?a13x3?b1 ? ?a21x1?a22x2?a23x3?b2?x,x,x?0?123（1）写出它的对偶问题；
（2）引入松弛变量，化为标准形式，再写出对偶问题； （3）引入人工变量，把问题化为等价模型：
max z?c1x1?c2x2?c3x3?M(x6?x7)?b1?a11x1?a12x2?a13x3?x4 ?x6 ? ?a21x1?a22x2?a23x3 ?x5 ?x7?b2?x,?,x?07?1再写出它的对偶问题。
试说明上面三个对偶问题是完全一致的。由此，可以得出什么样的一般结论？ 6. 利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：
max z?x1?2x2?x3??x1?x2?x3?4 ? ??2x1?x2?2x3?3?x?0,x?0,x?023?17. 已知表2-23是某线性规划的最优表，其中x4，x5为松弛变量，两个约束条件为≤
型。
表2-23 cj CB XB b 5/2 3/2 x1 0 1 0 x2 1/2 -1/2 -4 x3 1 0 0 x4 1/2 -1/6 -4 x5 0 1/3 -2 x3 x1 σj （1）求价值系数cj和原线性规划； （2）写出原问题的对偶问题； （3）由表2-23求对偶最优解。 8. 已知线性规划问题
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min z?8x1?6x2?3x3?6x4?x1?2x2 ?x4?3??3x1?x2?x3?x4?6? ? x3?x4?2?x ?x3 ?2?1??xj?0,j?1,2,3,4
（1）写出对偶问题；
（2）已知原问题的最优解为X*=（1，1，2，0）T，求对偶问题的最优解。 9*. 已知线性规划
max z?x1?4x2?3x3?2x1?3x2?5x3?2?3x?x?6x?1 ?123 ??x1?x2?x3?4??x1,x2?0,x3无约束的最优解为X*=（0，0，4）T。
（1）写出对偶问题； （2）求对偶问题最优解。
10. 用对偶单纯形法解下列各线性规划：
(1) min z?2x1?3x2?4x3?x1?2x2?x3?3? ?2x1?x2?3x3?4?x,x,x?0?12311. 设线性规划问题
n(2) min z?5x1?2x2?4x3
?3x1?x2?2x3?4? ?6x1?3x2?5x3?10?x,x,x?0?123
max z??cjxjj?1 ?nax?b i?1,2,?,mi??ijjj?1??x?0, j?1,2,?,n?j的m种资源的影子价格为y1*，y2*，?，ym*。 线性规划
（2.41）
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max z??cjxjj?1n?n??0???a1jxj??b1 ?j?1 n????aijxj?bi i?2,?,m?j?1?x?0, j?1,2,?,n?j??为（y1*/λ，y2*，?，ym*），并指出这一结果的经济意义。
*
12. 已知线性规划
（2.42）
与（2.41）是等价的，两者有相同的最优解，请说明（2.42）的m种资源的影子价格
min z?12x1?8x2?x3?2x4?2x1?2x2?x3?x4?3? ?3x1?x2?x3?2x4?4?x,x?0,x,x?034?12（1）写出对偶问题，用图解法求最优解；
（2）利用对偶原理求原问题最优解。 13. 线性规划
max z?2x1?x2?x3?x1?x2?x3?6? ??x1?2x2?4?x,x,x?0?123的最优单纯形表如表2-24所示。
表2-24 cj CB 2 0 XB b 6 10 2 -1 1 0 0
x1 1 0 0 x2 1 3 -3 x3 1 1 -1 x4 1 1 -2 x5 0 1 0 x1 x5 σj （1）x2的系数c2在何范围内变化，最优解不变？若c2=3，求新的最优解； （2）b1在何范围内变化，最优基不变？如b1=3，求新的最优解； （3）增加新约束 －x1+2x3≥2，求新的最优解；
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??1?（4）增加新变量x6，其系数列向量P6=??2??，价值系数c6=1，求新的最优解。
??14. 某厂生产甲、乙、丙三种产品，有关资料如表2-25所示。
表2-25 消 耗 定 原 料 A B 产品价格 额 6 3 4 3 4 1 5 5 5 45 30 产 品 甲 乙 丙 原料数量 （1）建立使总产值最大的线性规划模型；
（2）求最优解，并指出原料A，B的影子价格；
（3）产品甲的价格在什么范围内变化，最优解不变？
（4）若有一种新产品，其原料消耗定额为：A为3单位，B为2单位，价格为2.5单位，求新的最优计划。；
（5）已知原料B的市场价为0.5单位，可以随时购买，而原料A市场无货。问该厂是否应购买B，购进多少为宜？新的最优计划是什么？
（6）由于某种原因，该厂决定暂停甲产品的生产，试重新制定最优生产计划。 15*. 分析下列参数规划中，当t变化时，最优解的变化情况。
(1) max z?(3?2t)x1?(5?t)x2 ?4?x1 ? 2x2?12? ??3x1?2x2?18??x1,x2?0
(2) max z?2x1?x25x2 ?15? ?6x?2x?24?t ?2 ?1? x1?x2 ?5??x1,x2?016. 在例14中，原料甲的影子价格为5元/kg，补充20000kg后，产值z*似乎应增加
5×20000=100000（元）；但实际上只增加了88000元。试解释这个“矛盾”现象。
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