第六章 不 等 式 (时间：120分钟 满分：150分)
一、 选择题(每小题5分，共60分)
1. 已知集合M＝{y|y＝2x，x>0}，N＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则M∩N等于(A)
A. (1，2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)
集合M为函数y＝2x，x>0的值域，故M＝(1，＋∞)；集合N为函
数y＝lg(2x－x2)的定义域，由不等式2x－x2>0，解得0 2. 在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，11 能推出<成立的有(C) ab A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11b－a <成立，即<0成立，逐个验证可得①②④满足题意． abab3. (2013·济南调研)设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为(B) A. n>m>p B. m>p>n C. m>n>p D. p>m>n ∵a>1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，∴由 对数函数的单调性可知loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即m>p>n. 4. 已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(D) A. a<－或a>1 5B. － 5 C. － 5D. － 5 a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，3333 由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，解得－ 35 5 3 x≥1，?? 5. (2013·北京海淀测试)不等式组?x＋y－4≤0， 表示面积为1的直角三角 ??kx－y≤0形区域，则k的值为(D) A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 注意到直线kx－y＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表 示的平面区域，结合题意得直线kx－y＝0与直线x＋y－4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k＝1，选D. 6. 已知圆x2＋y2＋4x－8y＋1＝0关于直线2ax－by＋8＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(D) ab A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 由圆的对称性可得，直线2ax－by＋8＝0必过圆心(－2，4)，∴a＋b 824（a＋b）a＋b4ba＝2.∴＋＝＋＝＋＋5≥2 abababa2＝4b2，又由 4 2 4ba4ba ·＋5＝9，由＝，得abab 8 2 a＋b＝2，故当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D. 33 2－x－1，x≤0，?? 7. 设函数f(x)＝?1 若f(x0)>1，则x0的取值范围是 ??x2，x>0，A. (－1，1) B. (－1，＋∞) C. (－∞，－1)∪(1，＋∞) D. (－∞，－2)∪(0，＋∞) (C) x0 >0，????x0≤0， 由f(x0)>1，可得? 或?1解得x0<－1或x0>1，故 ??2－x0－1>1?x0>1， ?2 选C. 8. 已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(A) mn 1 4 aman A. B. 2325 C. D. 不存在 6 由题意可知，a5q2＝a5q＋2a5，化简得q2－q－2＝0，解得q＝－1(舍 去)或q＝2，又由已知条件 m＋n－2aman＝4a1，得 a1qm－1·a1qn－1＝16a21，q 35 ?14?m＋n1??4＝16＝2，∴m＋n＝6.∴＋＝?＋?·＝ mnmn66?? 1 4 1?? ≥·?5＋ 26? ?4mn???＋?·?5＋ nm?? 4mn4mn??3 ＝，即n＝2m时取“＝”． ×＝，当且仅当2nmnm?? x＋2y≥2，?? 9. (2013·河北质检)已知变量x，y满足约束条件?2x＋y≤4，则目标函数 ??4x－y≥－1，z＝3|x|＋|y－3|的取值范围是(A) ?3??3? ???? A. ?，9? B. ?－，6? ?2??2?C. [－2，3] D. [1，6] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知三个交点 ?1? ?? 分别为(0，1)，(2，0)，?，3?，且x≥0, y≤3.则z＝3|x|＋|y－3|＝3x－(y－3) ?2??1?33?? ＝3x－y＋3，它在点(2，0)处有最大值9，在点?，3?处有最小值，即≤z≤9. 22?2? x－y＋2≥0，?? 10. (2013·临沂质检)已知实数x，y满足不等式组?x＋y－4≥0，若目标函 ??2x－y－5≤0，数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为(D) A. (－∞，－1) B. (0，1) C. [1，＋∞) D. (1，＋∞) 本题考查线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域△BCD，由z＝ y－ax得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z在点B(1，3)处的截距最大，由图像可知a＞kBD，∵kBD＝1，∴a＞1，即a的取值范围为(1，＋∞)，故选D. 11. 已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab＝1，a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为(A) A. 1＋2 2 B. 3 C. 3 D. 4 2，因此ab＋bc＋ac＝1＋c(a＋b)≤1＋2y2 2 依题意，4－c2＝a2＋b2≥2ab＝2，0＜c2≤2，c2(a＋b)2＝c2(6－c2) ＝－(c2－3)2＋9≤8，c(a＋b)≤2(当且仅当a＝b＝1，c＝ 2时等号成立)，故选A. 的最小值为(C) xz ?11??x9z? ＝?＋＋6?≥4?zx?4 12. 设x，y，z为正实数，且满足x－2y＋3z＝0，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由已知条件得y＝ ? ?×?2? x＋3z2 ，∴ y2xz＝ x2＋9z2＋6xz 4xz ?y2x9z? ×＋6?＝3，当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3. xzzx? 二、 填空题(每小题5分，共20分) 13. 若a1 ＋a2b2>a1b2＋a2b1__． 作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a1 b1 x≥－1，?? 14. (2013·湖北八校联考)已知变量x，y满足约束条件?x－y≤1，则z＝x ??|x＋y|≤1，＋2y的最小值为__－2__． 作出可行域，如图阴影部分所示，由图可知，z＝x＋2y在(0，－1)处 取得最小值－2. 15. 设x，y为实数，若x2＋y2＋xy＝1，则x－y的最大值是__2__． 设t＝x－y，则y＝x－t，代入x2＋y2＋xy＝1中，得3x2－3tx＋t2－ 1＝0，由于x为实数，故Δ＝(－3t)2－4×3×(t2－1)≥0，即t2≤4，解得－2≤t≤2，故t的最大值，即x－y的最大值为2. 16. 已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数?? ?23? x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，则不等式f?x－x?＜0的解集 2?? ?1???为__?－∞，－?∪(2，＋∞)__． 2?? ∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，???23? 则f(1)＝0.又(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，∴f(x)在R上单调递减，∵f?x－x?＜0 2?? ?3?31??2＝f(1)，∴x2－x＞1，解得x＜－或x＞2，∴不等式 f?x－x?＜0的解集为 2?22? ?1???－∞，－??∪(2，＋∞)． 2?? 三、 解答题(共70分) 17. (10分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． (1)将y表示为x的函数； (1)如图，设矩形的另一边长为a m．则 (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．