y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，(2分)
360
由题意得xa＝360，得a＝.(3分)
x3602
∴y＝225x＋－360(x>0)．(5分)
x3602
(2)∵x>0，∴225x＋≥2
x
225×3602＝10 800，(7分)
36023602
∴y＝225x＋－360≥10 440，当且仅当225x＝时，等号成立，(9
xx分)
即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(10分)
18. (10分)已知函数f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx. (1)若k＝2，求方程f(x)＝0的解；
(2)若关于x的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明＋<4.
x1x2
(1)当k＝2时，f(x)＝|x2－1|＋x2＋2x， ①当x2－1≥0，即x≥1或x≤－1时， 方程化为2x2＋2x－1＝0， 解得x＝
－1±
2
3，
3
.(2分)
1
1
－1＋∵0<
2
1
3－1－<1，故舍去，∴x＝
2
②当x2－1<0，即－1 2 由①②可知，当k＝2时，方程f(x)＝0的解为x＝(2)不妨设0 －1－ 2 3 1 或x＝－.(4分) 2 2??2x＋kx－1，|x|>1， ∵f(x)＝? ∴f(x)在(0，1]上是单调函数， ??kx＋1，|x|≤1， 故f(x)＝0在(0，1]上至多有一个解．(6分) 1 若1 2因此0 由f(x1)＝0得k＝－，∴k≤－1； x1 由f(x2)＝0得k＝－2x2，∴－ x22 故当－ 2当0 x1消去k得 2x1x22－x1－x2＝0，即1 1 ＋＝2x2， x1x21 1 1 7 1 7 1 ∵x2<2，∴＋<4.(10分) x1x2 19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 研制成本与搭载费用之和(万元/件) 产品重量(千克/件) 预计收益(万元/件) 最大收益是多少？ 设搭载x件产品A，y件产品B，预计总收益z＝80x＋60y， 产品A(件) 20 10 80 产品B(件) 30 5 60 计划最大资金额300万元 最大搭载重量110千克 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，20x＋30y≤300，?? 则?10x＋5y≤110， 作出可行域，如图．(6分) ??x∈N，y∈N， 作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图像得，当直线经过M点时z能取得???2x＋3y＝30，?x＝9， 最大值，由?解得?即M(9，4)． ???2x＋y＝22，?y＝4， ∴zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．(10分) 即应搭载9件产品A，4件产品B，可使得总预计收益最大，为 960万元．(12分) 20. (12分)已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围． 若a＝0，原不等式为一次不等式可化为－x－1<0，显然它对于任意 的x不都成立．∴a＝0不符合题目要求．(3分) 若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，∴对应二次函数的图像抛物线必须开口向下，且判别式Δ<0， ??a<0， ①即? (6分) 2??（a－1）－4a（a－1）<0. ② 1 2整理②，得3a－2a－1>0，解得a<－或a>1.(8分) 3a<0，??1∴?1 ∴a<－.(10分) 3a<－或a>1.?3? ?1???∴a的取值范围是?－∞，－?.(12分) 3?? 21. (12分)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植． (1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆 5 2 沙棘树苗用时小时，应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？ 2 (2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用22 时仍为小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽 53调 6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间． (1)设A组人数为x，且0 150× 560 则A组活动所需时间f(x)＝＝；(1分) xx 1200×252－x 100 1 B组活动所需时间g(x)＝＝ .(2分) 52－x 6010039 令f(x)＝g(x)，即＝，解得x＝. x52－x2∴两组同时开始的植树活动所需时间 ??x，x≤19，x∈N， F(x)＝?(4分) 100 ，x≥20，x∈N，?52－x? * * 60 6025 而F(19)＝，F(20)＝，故F(19)>F(20)． 198 ∴当A，B两组人数分别为20，32时，植树活动持续时间最短． (6分) 2 150×－20×1527 (2)A组所需时间为1＋＝(h)，(8分) 20－672 200×－32×1 311 B组所需时间为1＋＝(h)，(10分) 32＋63112727 ∵<，∴植树活动所持续的时间为 h．(12分) 377 22. (14分)(2013·广东四校联考)已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意x∈(0，1)，总有f(x)>0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． (1)证明：f(x)在[0，1]上为增函数； (2)若对于任意x∈[0，1]，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a的取值范围； ?12n???(3)比较f?2＋3＋…＋n＋1?与1的大小，并给予证明． 2??22 (1)设0≤x1 即f(x2)>f(x1)．故f(x)在[0，1]上是增函数．(4分) (2)由(1)知f(x)在x∈[0，1]上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，∴1－f(x)≥0， 当f(x)＝1时，容易验证不等式成立；当f(x)<1时，则 4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0?a≤成立，(6分) 4f2（x）－8f（x）＋51 设y＝＝1－f(x)＋≥1，从而则 a≤1， 4－4f（x）4[1－f（x）]综上，a的取值范围为(－∞，1]．(8分) (3)令Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，则 222212 Sn＝3＋4＋5＋…＋n＋2，(10分) 2222 1 2 3 n 1 2 3 n 4f2（x）－8f（x）＋5 4－4f（x） 对 x∈[0，1]恒 11111n ∴Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1－n＋2， 222222 ∴Sn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1＝1－n－n＋1<1. 2222222?12n???∴f?2＋3＋…＋n＋1?<1.(14分) 2??22 1 1 1 1 n 1 n