银川一中2018届高三第二次模拟理科数学试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 答案
1 C
2 C
3 B
4 D
5 B
6 D
7 A
8 B
9 C
10 A
11 D
12 B
二．填空题：13. —
1 14. —24; 15. ?4?k?2; 16. 2 212．已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m
的取值范围是( )
8?8?5??5??5?1?22A.?e，2? B.?－2e，－3e? C.?－2，－3e? D.?－4e，－2e? 答案 B
ex＋1＋mx≤0，即 解析 由f(x)≤0，得(3x＋1)·
mx≤－(3x＋1)ex＋1，设g(x)＝mx，h(x)＝－(3x＋1)ex＋1，
x1x1x1
则h′(x)＝－[3e＋＋(3x＋1)e＋]＝－(3x＋4)e＋，由
4
h′(x)>0，得－(3x＋4)>0，即x<－3，由h′(x)<0， 44
得－(3x＋4)<0，即x>－3，故当x＝－3时，函数h(x) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y＝h(x)， y＝g(x)的大致图象如图所示，当m≥0时，满足 g(x)≤h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当m<0时， 要使g(x)≤h(x)
?h??2??g??2?, 的整数解只有两个，则需满足??h??3??g??3?,??5e≥－2m，－2即??8e<－3m，即?
－1
?
?8?m<－3e，
25m≥－2e，
588??5即－2e≤m<－3e2，即实数m的取值范围是??,?2?，
?2e3e?故选B.
16已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．
答案
2
?a?
解析 依题意得焦点F的坐标为?4，0?，设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，
0－1
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MN|＝1∶3，所以|KN|∶|KM|＝22∶1，又kFN＝a
4－0
－4|KN|4
＝a，kFN＝－|KM|＝－22，所以a＝22，解得a＝2.
三．解答题：
17.解析：(1)由an+Sn=1得an-1+Sn-1=1(n≥2) 两式相减可得：2an=an-1即
an1?，又a1?1 an?1221 ∴{an}为等比数列，∴an=()n
21()n11?n?n (2)Cn?212?12()n?121?1??1?n?1??1?12?2??1? 故Tn?C1?C2?C3???Cn???1?n?1 ???????????12?2??2??2?1?212n18.解：(1)由题意：x?3.5，y?16，?xi?xyi?y?35，?xi?xi?1i?16????6??2?17.5，
b?35?2，a?y?b?x?16?2?3.5?9，∴y?2x?9， 17.5x?7时，y?2?7?9?23.
即预测M公司2017年4月份(即x?7时)的市场占有率为23%.
(2)由频率估计概率，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、每辆A款车可使用1年，0.1，
∴每辆A款车的利润数学期望为
?500?1000??0.2??1000?1000??0.35??1500?1000??0.35??2000?1000??0.1?175(元)
每辆B款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B款车的利润数学利润为
?500?1200??0.1??1000?1200??0.3??1500?1200??0.4??2000?1200??0.2?150(元)
∵175?150， ∴应该采购A款车. 19.(1）证明：在平行四边形
所以因为侧面又因为又因为
．由底面底面
，
中，因为分别为，且，所以
平面
，
，
， ， 所以底面
．
．
的中点，得，所以．
平面
，所以平面．
（2）解：因为垂直，以
底面，，所以两两
分别为、、，建立空间直角坐标系，则
，
所以设所以
的法向量 设平面
， 得因为直线 所以 解得
与平面
，，则，
，
，
，
，易得平面
．
的法向量为，由，，得 令
．
所成的角和此直线与平面
，即
，或
（舍）． 综上所得：
所成的角相等，
，所以
，
x2y220.【解析】（1）依题意，设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，焦距为2c。
ab1由题设条件知，a2?8,b?c，所以b2?a2?4。
2x2y2?1。 故椭圆C的方程为?84（2）由题意，知点P的坐标为??4,0?。
显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y?k(x?4)。 如图所示，设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，线段MN的
?y?k(x?4),?222222中点为G(x0,y0)，由?x?y?1,得(1?2k)x?16kx?32k?8?0。
?4?82222由??(16k)?4(1?2k)(32k?8)?0，
解得?22。 ?k?2216k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??，
1?2k28k2?0，所以点G不可能在y轴的右边。 于是x0??21?2k4k?8k2y?y=k(x+4) 将x0?代入得0221?2k1?2k又直线F1B1,F1B2方程分别为y?x?2，y??x?2， 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为 ?4k8k2???2,?2?y0?x0?2,?1?2k21?2k 即??24k8ky??x?2,00????2,??1?2k21?2k2解得?3?13?1，由此②也成立。 ?k?22?3?13?1?,l? 故直线斜率的取值范围是??22????21．（1）函数h(x)的定义域为(0,??)
2当a?1时，h(x)?f(x)?g(x)?x?x?lnx?2，
所以h?(x)?2x?1?所以当0?x?1(2x?1)(x?1) ?xx11时，h?(x)?0，当x?时，h?(x)?0，
221212所以函数h(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,??)单调递增， 所以当x?111时，函数h(x)取得极小值为+ln2，无极大值； 24（2）设函数f(x)上点(x1,f(x1))与函数g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同， 则f?(x1)?g?(x2)?f(x1)?g(x2)
x1?x21x12?ax1?1?(lnx2?a)? 所以2x1?a?x2x1?x2所以x1?x?x1a?，代入12?x12?ax1?1?(lnx2?a)得：
x22x221aa2??lnx2??a?2?0(*) 4x222x241aa21a12x2?ax?1 ?lnx??a?2，则F?(x)??3?2??设F(x)?2?4x2x42x2xx2x32不妨设2x0?ax0?1?0(x0?0)则当0?x?x0时，F?(x)?0，当x?x0时，F?(x)?0
所以F(x)在区间(0,x0)上单调递减，在区间(x0,??)上单调递增，
11?2x021??2x0可得：F(x)min?F(x0)?x02?2x0??lnx0?2 代入a=x0x0x0设G(x)?x2?2x?111?lnx?2，则G?(x)?2x?2?2??0对x?0恒成立， xxx所以G(x)在区间(0,??)上单调递增，又G(1)=0
所以当0?x≤1时G(x)≤0，即当0?x0≤1时F(x0)≤0, 又当x?ea?2时F(x)?14e2a?4aa2a?2?a?2?lne??a?2 2e411?(a?2?a)2≥0 4e因此当0?x0≤1时，函数F(x)必有零点；即当0?x0≤1时，必存在x2使得(*)成立； 即存在x1,x2使得函数f(x)上点(x1,f(x1))与函数g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同． 又由y?11?2x得：y???2?2?0 xx1?2x0211??2x0?[?1，+?) 所以y??2x在(0,1)单调递减，因此a=xxx00所以实数a的取值范围是[?1,??)．
22. (1)解：由?sin2??2acos?(a?0)得：(?sin?)2?2a?cos? ∴曲线C的直角坐标方程为：y2?2ax(a > 0)
?2x??2?t??2由?消去参数t得直线l的普通方程为y?x?2 ?y??4?2t??2?2x??2?t??2(2)解：将直线l的参数方程?代入y2?2ax中得： ?y??4?2t??2
t2?22t(4?a)t?8(4?a)?0 6分
设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有t1?t2?22(4?a)，t1t2?8(4?a) 8分 ∵|PM|?|PN|?|MN|2，∴(t1?t2)2?(t1?t2)2?4t1t2=t1t2 即8(4?a)2?40(4?a)，解得a?1．
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
解法一：【命题意图】本题旨在考查绝对值不等式的解法、分析法在证明不等式中的应用，考查考生的推理论证能力与运算求解能力。
【解题思路】（1）先确定函数f(x)的最大值，再确定m的取值范围；（2）从要证的结
论发出，一直逆推分析，结合提干信息证明结论的正确性。
??1,x?0,?解：（1）去绝对值符号，可得f(x)??2x?1,0?x?1,
?1,x?1,?所以f(x)max?1。
所以|m?1|?1，解得0?m?2， 所以实数m的取值范围为?0,2?。
22（2）由（1）知，M?2，所以x?y?2。
因为x?0,y?0，
所以要证x?y?2xy，只需证?x?y??4x2y2，
22即证2(xy)?xy?1?0，即证?2xy?1?(xy?1)?0。
因为2xy?1?0，所以只需证xy?1。
22因为2xy?x?y?2，∴xy?1成立，所以x?y?2xy
22+
解法二：x+y=2，x、y∈R，x+y≥2xy 0????2
???x?2sin?(0???) 设：?2??y?2cos?证明：x+y-2xy=2sin??2cos??2?2sin??cos? =2(sin??cos?)?4sin??cos?
令sin??cos??t
?1?2sin?cos??t2，?0????2 ∴1?t?2
2sin?co?s?t2?1 ?原式=2t?2(t2?1)
=?2t2?2t?2 =?2(t2? =?2(t?2t)?2 2229)? 44 当t?2时，ymin??2?2?2?2?0 ?x?y?2xy