论发出，一直逆推分析，结合提干信息证明结论的正确性。
??1,x?0,?解：（1）去绝对值符号，可得f(x)??2x?1,0?x?1,
?1,x?1,?所以f(x)max?1。
所以|m?1|?1，解得0?m?2， 所以实数m的取值范围为?0,2?。
22（2）由（1）知，M?2，所以x?y?2。
因为x?0,y?0，
所以要证x?y?2xy，只需证?x?y??4x2y2，
22即证2(xy)?xy?1?0，即证?2xy?1?(xy?1)?0。
因为2xy?1?0，所以只需证xy?1。
22因为2xy?x?y?2，∴xy?1成立，所以x?y?2xy
22+
解法二：x+y=2，x、y∈R，x+y≥2xy 0????2
???x?2sin?(0???) 设：?2??y?2cos?证明：x+y-2xy=2sin??2cos??2?2sin??cos? =2(sin??cos?)?4sin??cos?
令sin??cos??t
?1?2sin?cos??t2，?0????2 ∴1?t?2
2sin?co?s?t2?1 ?原式=2t?2(t2?1)
=?2t2?2t?2 =?2(t2? =?2(t?2t)?2 2229)? 44 当t?2时，ymin??2?2?2?2?0 ?x?y?2xy