湘阴县2012届高三第二轮复习教师版 专题二 三角函数与平面向量 编辑：胡三思
专题二 三角函数与平面向量 第1课 三角函数的图像和性质
考点分析 三角函数的图像是三角函数的重要组成部分，是高考的常考内容，通常以客观题的形式出现，
涉及求图像解析式、图像变换等内容，属中低档题。
三角函数的性质是高考考查的重要内容，题型多以选择题、填空题为主，也常出现在解答题中，多与三角恒等式、解三角形、平面向量相联系，难度中等。
基点整合 〖基点问题1〗三角函数的图像变换
例1设函数f(x)?sinxcosx?3cos(??x)cosx(x?R). （1）求f(x)的最小正周期；
??3?（II）若函数y?f(x)的图象按b??,?42??平移后得到函数y?g(x)的图象，
??求y?g(x)在(0,?4]上的最大值。
解：（I）T??332??. ??.（II）g(x)在[0,]上的最大值为g()?4224〖基点问题2〗三角函数的性质
例2下列关系式中正确的是（ C ）
A．sin11?cos10?sin168 B．sin168?sin11?cos10 C．sin11?sin168?cos10 D．sin168?cos10?sin11
000000000000〖基点问题3〗三角函数的性质
例3．函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是________________．
〖基点问题4〗三角函数的图像、性质及应用
?例4将y?Asin(?x??)的图像向左平移个单位，若所得图像与原函数图像重合，则?的值不可
2能等于（ B ）
A．4 B．6 C． 8 D． 12
热点突破 〖热点考向1〗三角函数性质
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例5. 已知f(x)?log2[2sin(2x??3)]
（1）求函数的定义域；（2）求满足f(x)?0的x的取值范围；（3）求函数f(x)的单调递减区间。 解：（1）(k??（3）[k???6,k??2?713（2）{x|x?k??)(k?Z)；?或?k???,k?Z}；
324245?2?,k??](k?Z)。 123〖热点考向2〗三角函数的图象与性质综合应用
例6. 已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???中，相邻两个交点之间的距离为
?2）的图象与x轴的交点
2??，且图象上一个最低点为M(,?2)．
32??（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[,]，求f(x)的值域．
1222?解：（1）由最低点为M(,?2)得A=2．
32?2??T?由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T??，????2．
T?2222?2?4?由点M(,?2)在图象上的2sin(2???)??2，即sin(??)??1．
3334??11?故．???2k??,k?Z ???2k??326???又??(0,)，???，故f(x)?2sin(2x?)．
266????7?（2）?x?[,]，?2x??[,]
122636???当2x?=，即x?时，f(x)取得最大值2；
626?7??当2x??，即x?时，f(x)取得最小值-1，
662 故f(x)的值域为[-1，2]．
规律提炼 1、五点法作函数图像及函数图像变换问题
（1）当明确了函数图像基本特征后，“描点法”是作函数图像的快捷方式。运用“五点法”作正、余弦型函数图像时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向。
（2）在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握。无论哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少。 2、有图像确定函数解析式
由函数y?Asin(?x??)的图像确定A,?,?的题型，常常以“五点法”中的第一零点(?作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置，要善于抓住特殊量和特殊点。
?,0)?25
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3、对称问题
函数y?Asin(?x??)的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为
(x,?A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对
值是半个周期（或两个相邻平衡点间的距离） 4、三角函数的性质
（1）三角函数的最小正周期的求法
由定义出发去探求：
根据图形去判断，化成y?Asin(?x??)或y?Atan(?x??)等类型后，用基本结论T?2?|?|来确定。
（2）判断函数的奇偶性，应先判断函数定义域的对称性。注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言, “同奇才奇，一偶则偶”。
（3）三角函数单调区间的确定，一般先将函数化为基本三角函数标准形式y?Asin(?x??)?B。然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若已作出函数的图像，则根据图形的直观性可迅速获解。对于复合函数的单调区间的确定，应明确对复合过程中的每一个函数而言，“奇数个减则减，偶数个减则增”。
（4）三角函数值域的确定，一般需先将函数化为y?Asin(?x??)?B的形式再求值域（最值），特别地，对形如y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c的函数求值域，一般方法是换元，令
t2?1（t?sinx?cosx，t?[?2,2]，则t?sinx?cosx，t?[?2,2]，则sinxcosx?21?t2sinxcosx?），转化为二次函数在区间[?2,2]上的最值问题求解。
2 实战演练7 1、若动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交与M、N两点，则|MN|的最大值是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．2
2、已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,0????)的最小正周期为?，且f(x)为偶函数，则
f(x)的一个单调递减区间为（ D ）
A． [????3???,] B．[,] C．[?,0] D．[0,] 444422?4]上单调递增，
3、如图，已知函数f(x)?sin?x在区间[0,
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且在这个区间上的最大值为
3，则实数?的一个值可以是（C） 2A．
38410 B． C． D． 23334、如图是函数y?Asin(?x??)的图像，
则其解析式是y?3sin(2x??3)。
5、若把函数y?3cosx?sinx的图像向右平移m（m?0）
个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称， 则m的最小值是
? 。 66、函数f(x)?2cosx?sin2x?1，给出下列四个命题： （1）函数在区间[2?5?8,8（2）直线x?]上是减函数；
?8是函数图像的一条对称轴；
（3）直线f(x)的图像可由函数y?（4）若x?[0,2sin2x的图像向左平移
?个单位长度而得到； 4?2]，则f(x)的值域是[?1,2]。
其中正确的命题的序号是 （1）、（2）、（4） 。
7、设f(x)?sin(2x??)(?????0)，y?f(x)的图像过点(（1）求?；（2）求y?f(x)的周期和单调递增区间； （3）在给定的坐标系上画出y?f(x)在区间[0,?]上的图像。 解：（1）????8,?1)。
3??5?，（2）T??，单调递增区间[k??,k??]（k?Z） 488（3）图略。
8、已知函数f(x)?Asin(?3x??)，x?R，A?0，0????2．y?f(x)的部分图像，如图
所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A)． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及?的值； （Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，?PRQ?求A的值．
解：由题意得，T?2??6.
2?， 3?3
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因为P(,A)在y?Asin(又因为0????x??)的图象上，所以sin(,??)?1. 33??2，所以???6
（Ⅱ）解：设点Q的坐标为(x0,?A)
由题意可知
?3x0??6?3?2?，得x0?4,所以Q(4,?A)连接PQ，在?PRQ中,?PRQ?，23由余弦定理得
RP2?RQ2?PQ2A2?9?A2?(9?4A2)1cos?PRQ????.
2RP?RQ22A?9?A2解得A?3.又A?0,所以A?2
3.
第2课 三角恒等变形与解三角形
考点分析 1、高考对三角恒等变换部分的考查主要是三角和与差公式，二倍角公式等三角公式的灵活应用，包
括正用、逆用、变形使用，对三角函数式进行化简、证明以及解三角形或结合三角函数图像和性质解题；各种题型都曾出现过，难度多为中低档。
2、解三角形在高考中常以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为依托来综合考查三角知识，多以解答题的形式出现，难度中档。
基点整合 〖基点问题1〗三角恒等变换
473，则sin(???)?（ C ）
6562424A． ?3 B．3 C．? D．
5555〖基点问题2〗解三角形
例1、已知cos(???)?sin??例2在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a?c?b)tanB?的值为（ D ）
2223ac，则角B
???2??5? B． C．或 D．或
636363〖基点问题3〗三角形函数的实际应用
A．
例3某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为?的四个等腰三角形及底边相等的正方形组成， 该八边形的面积为（ A ） A 2sin??2cos??2 B．sin??3cos??3 C．3sin??3cos??1 D．2sin??cos??1
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