湘阴县2012届高三第二轮复习教师版 专题二 三角函数与平面向量 编辑：胡三思
明平行和垂直时的应用都是重点考查的内容。
2. 理解向量及各种运算的集合意义，能够用坐标法进行各种向量运算，注意向量作为工具在三角
函数，解析几何等内容的应用
3. 综合分析能力、知识的综合应用能力、推理运算能力、实际应用能力都是该部分内容要求的能
力
4. “纯”向量问题多以选择题、填空题形式出现，若在解答题中出现，则往往以“工具”身份出现，常
用来解决三角函数、解析几何等问题。
基点整合 〖基点问题1〗平面向量的概念及运算
例1若非零向量a,b满足a?b,2a?b?b?0,则a,与b的夹角（A） A 30° B 60° C 120° D 150°
??〖基点问题2〗向量与三角
例2若向量a?? ?sin???6?,1??,b?4,4cos??3,且a?b,则sin???3??等于（C）??????A ?????????4?3311 B C ? D 4444〖基点问题3〗向量综合问题
则?ABC与?OBC的面积比为（D）例3设o是?ABC内部的一点，且OA?2OB?2OC?0，
A 3：2 B 5：2 C 4：1 D 5：1
热点突破 〖热点考向1〗向量与三角综合
4.z在锐角?ABC中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ且满足?2a?c?cosB?bcosC(1)求角B的大小（2）设m??sinA,1?,n?(3,cos2A),试求m?n的取值范围解：（）1??2a?c?cosB?bcosC,由正弦定理可得（2sinA?sinC)cosB?sinBcosC?2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC,2sinAcosB?sin(B?C)?sinA ?sinA?0,?2cosB?1,即cosB?1,?0?B??,?B??23(2)由题意可知m?n?3sinA?cos2A?3sinA?1?2sin2A??2sin2A?3sinA?1换元，令t?sinA,则m?n??2t?4?17,?B??,?A?C?2?,即C?2??A38333?0?A??2? ???1??ABC是锐角三角形，??,解得?A?,?t?sinA?,1622?2??0??A???32当t?3时，m?n取最大值17..m?n??2t2?3t?1??2?3?1?2.?m?n?2,17?.488???2???
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〖热点考向2〗向量与解析集合的综合
例5.已知点C（0，1），A，B是抛物线y?x2上不同于原点o的相异的两动点，且OA?OB?o(1)求证：AC//AB;(2)若AM??MB（??R），且OM?AB?0，试求点M的轨迹方程????????解：设A（x1,x12）,B(x2,x22),x1?0,x2?0,,x1?x2,?OA?OB?0,?,x1x2?,x12x22?0又,x1?0,x2?0，?,x1x2??1????????2AC???x1,1?x1?,AB??x2?x1,x22?x12? ?1?证明：???x1??x22?x12???x2?x1??1?x12???x2?x1???x1?x2?x1????x2?x1??1?x12?22??x2?x1????x1x2?x1?1?x1????x2?x1??0?0?????????AC//AB?2?由题意知，A、M、B三点共线，OM?AB故M点是直角三角形AOB的顶点O 在AB（斜边）上的射影，?OMC?900?点M在以OC为直径的圆上，其轨迹方程为x?y?122??2?1?y?0?4 规律提炼 1. 平面向量的线性运算
（1） 向量不同于数量，向量既有大小，又有方向，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小 （2） 向量的加减法实质上是向量的平移，数实乘向量实质是向量的伸缩。 （3） 数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相等可以灵活的平移向量 （4） 向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题
（5） 解决具体问题时，适当选择一组基地e1,e2,利用平面向量基本定理，把几何问题转化为
关于e1,e2的代数问题
（6） 关于数量的代数运算公式，法则在向量范围内并不完全适用 2. 平面向量的内积
（1） 关于数量积的应用，只有对其定义及运算律理解透彻才能运用准确灵活，高考中主要考查判
断两个向量是否垂直，或是寻求两向量垂直的充要条件；利用向量的数量积等条件求向量或向量的坐标 （2） ①平面向量a与b的数量积a?b?abcos?,它是一个实数，而不是向量，它的值是两个向
量的模与两向量夹角余弦的乘积，其中0???180
②向量的数量积a?b与实数a,,b乘积不同，由a?b?0，并不能得出a?0或b?0,因为两个非零向量夹角为90°时，数量积也为0
③向量的数量积不满足结合律，即(a?b)?c?a?(b?c),在(a?b)?c与a?(b?c),中，由于a?b与b?c都是一个实数，设a?b??1,b?c??2,则a?b??1c,a??b?c???2a，它们分别是与c 共线和与a共线的向量，由于a,c不一定共线，那么?1c与?2a的方向不一
00
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定相同，故一般情况下，(a?b)?c?a?(b?c),
④数量积的消去律不成立，即a?b?b?c,不一定得到a?c
3平面向量的综和应用
平面向量可以与三角函数，解析几何，平面几何，数列，不等式，实际问题等内容相结合，以解答题形式出现，重在考查向量的工具性作用，解题的关键是实际问题减的相互转化
实战演练10
1.已知i,j为互相垂直的单位向量，a?i?2j,b?i??j,且a与b的夹角为锐角，则实数?的取值范围是（A）A (??，??? C ??2，???，??? D (??，?2)???2，? B ?，?2)
??1?2??1?2????2?3??2?3??2.设a,b是不共线的两向量，其夹角为?，若函数f(x)??xa?b??(a?xb)在（0，??）上有最大值，则（D）A a?b,且?为钝角 B a?b,且?为锐角
Ca?b,且?为钝角 D a?b,且?为锐角
3.如图，在?ABC中，AD?AB，BC?3BD，AD?1，则AC?AD?（D）A 23 B
33 C D 233
4.如图，在?ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别角直线AB，AC于不同的两点M、N，若AB?mAM,AC?nAN,则m?n的值为
2
????5.已知a??cos?,sin??,????,0?,b??0,1?,向量a,b所成的夹角为??2?2?6.已知向量a,b满足a?1,b?2,a与b的夹角为60?，则a?b?600
??
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7.已知O为坐标原点，A?0，2?，B?4，6?，OM?t1OA?t2AB(1)求点M在第二或第三象限的充要条件（2）求证：当t1?1s时，不论t2为何实数，A、B、M三点共线7.?1?t2?0且t1?2t2?0
?2?当t1?1时，AB??4，4?AM??4t2,2?4t2???0,2???4t2,4t2??t2AB
向量AM，AB都过同一点A，?Ａ、Ｂ、Ｍ三点共线。8.已知m?sinx?cosx,3cosx,n??cosx?sinx,2sinx?,函数f(x)?m?n????（1）求当x???,?时，函数f(x)的取值范围；?63?（2）在?ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且a?3,b?c?3f(A)?1,求?ABC的面积
??解：（1）f(x)?m?n?sinx?cosx,3cosx??cosx?sinx,2sinx???????cos2x?sin2x?23sinxcosx?cos2x?3sin2x?2sin?2x??6?????5?????????又?x??,?,?2x????,,2sin2x??????1,2??6?66?6??63??f(x)??1,2????(2)f?A??1,且f(x)?2sin?2A??6??????1???2sin?2A???1,即2sin?2A???,6?6?2???0?A??,13??b2?c2?a2??2A??,即A?，由余弦定理知，cosA?66632bc1b2?c2?a2即?，又a?3,?b2?c2?a2?322bc又b?c?3,???b?1?b?2联立解得?或?,c?2c?1???S?ABC?13bcsinA?22
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