2012年南昌一中、南昌十中第四次联考
数学试卷（理）
命题人：吴建民 审题人: 梁伟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上 1．设i是虚数单位，复数
A．?1 2
1?ai为纯虚数，则实数a为 （ ） 2?i1B。?2 C。 D。2
2式为
2．函数y?Asin(?x??)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析
( )
A．y?2sin(2x?C．y?2sin(?2??) B．y?2sin(2x?) 33
x??) D．y?2sin(2x?) 2333．已知直线a和平面?,?，????l，a??，a??，且a在?,?内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是 ( )
A．相交或平行 B。相交或异面 C。平行或异面 D。相交﹑平行或异面 4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP?111(OA?OB?2OC)，322则点P一定为三角形的 （ ）
A．AB边中线的中点 B。AB边中线的三等分点（非重心） C．重心 D。AB边的中点 5．下列各命题中正确的命题是 （ ）
①命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题 “q”均为真命题；
2② 命题“?x0?R,x0； ?1?3x0”的否定是“?x?R,x?1?3x”
2③“函数f(x)?cosax?sinax的最小正周期为?错误！未找到引用源。”是“a?1”的必要不充分条件； ④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a?b?0”。
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A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④
6．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD?平面CBD，形成三棱锥C?ABD的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）
A．
2211 B 。 C。 D。
2424234xxxx2x3x4x2012x20137．已知函数f(x)?1?x?，g(x)?1?x????????????2342012201323420122013xx，若函数f(x)有唯一零点x1，函数g(x)有唯一零点x2，则有（ ） ??20122013 A．x1?(0,1),x2?(1,2) B。x1?(?1,0),x2?(1,2)
C．x1?(0,1),x2?(0,1)
D。x1?(?1,0),x2?(0,1)
8．已知定义在R上的函数y?f(x)满足下列三个条件：①对任意的x?R都有f(x?2)??f(x)，②对于任
意的0?x1?x2?2，都有f(x1)?f(x2)，
③y?f(x?2)的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )
B．f(4.5)?f(7)?f(6.5)
A．f(4.5)?f(6.5)?f(7)
C．f(7)?f(4.5)?f(6.5) D．f(7)?f(6.5)?f(4.5) 9．已知an?()n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状，
13
记A(m,n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)?（ ）
A．()93 B。()92 C。()94 D。()112
13131313
10．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a2；⑤体积为
A．①②⑤ C．②④⑤
53a。 以上结论正确的是 ( ) 6
B．①②③ D．②③④⑤
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知集合A?{a1,a2,a3,,an}，记和ai?aj(1?i?j?n)中所
有不
同值的个数为M(A)．如当A?{1,2,3,4}时，由1?2?3，1?3?4，
1?4?2?3?5，2?4?6，3?4?7，得M(A)?5．对于集合B?{b1,b2,b3,,bn}，若实数b1,b2,b3,,bn成等差数列，则
M(B)?________________
12．某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的值为
13．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q等于 ____________________。 14．底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为 ． 15．已知正实数x,y，记m为x和
y中较小者，则m的最大值为 __________。 22x?y
三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值． 62
17. （本小题满分12分）
已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c，设向量m?(a,b), n?(sinB,sinA), p?(b?2,a?2) （Ⅰ）若m∥n，求证：?ABC为等腰三角形； （Ⅱ）若m⊥p，边长c?2，C?
18. （本小题满分12分）已知 p:f(x)?
?3，求?ABC的面积.
1?x,且|f(a)|?2； 3q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点． （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥
B ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
E 平面
平面
A G D C
（3）求点G到平面BCE的距离．
20、（本小题满分13分）若由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n?N*均有bn?1?bn,其中 。 bn?an?1?an，则称数列{an}为“Z数列”
（I）在数列{an}中，已知an??n2，试判断数列{an}是否为“Z数列”； （II）若数列{an}是“Z数列”，a1?0,bn??n,求an;
（III）若数列{an}是“Z数列”，设s,t,m?N,且s?t,求证at?m?as?m?at?as.
21、 （本小题满分14分） 已知函数f(x)?x?ax(a?0)，g(x)?lnx，f(x)图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g(x?1)与x轴的交点N处的切线为l2， 并且l1与l2平行. （1）求f(2)的值；
（2）已知实数t∈R，求u?xlnx,x??1,e?的取值范围及函数y?f[xg(x)+t],x??1,e?的最小值； （3）令F(x)?g(x)?g'(x)，给定x1,x2?(1,??),x1?x2，对于两个大于1的正数?,?，存在实数m满足：??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，并且使得不等式|F(?)?F(?)|?|F(x1)?F(x2)|恒成立，
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