1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求幂级数??(x?3)nn?1n3n的收敛域. (2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.
(3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分
I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.
?
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(1)若f(t)?limx??t(1?1x)2tx,则f?(t)= _____________.
(2)设
f(x)连续且
?x3?10f(t)dt?x,则
f(7)=_____________. (3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)?
22 ?1?x?00?x?1,则的傅里叶x(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中
α,β,γ2,γ3,γ4均为
4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则
行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设
f(x)可导且f?(x0)?12,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是
(A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小
(C)比?x低阶的无穷小 (D)比
?x高阶的无穷小 (2)设
y?f(x)是方程
y???2y??4y?0的一个解且
f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处
(A)取得极大值 (B)取
得极小值
(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)
设
空
间
区
域
?21:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R,x?0,y?0,z?0,则
(A)???xdv?4???dv
?1?2 (B)???ydv?4???ydv
?1?2(C)???zdv?4???zdv
?1?2 (D)???xyzdv?4????xyzdv
1?2(4)设幂级数??ann(x?1)在x??1处收敛,则此级数在
n?1x?2处
(A)条件收敛 (B)绝对收敛
(C)发散 (D)收敛
性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使
k1α1?k2α2???ksαs?0
(B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分)
设u?yf(xy)?xg(yx),其中函数f、g具有二阶连续导数,
求x?2u?2u?x2?y?x?y.
五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重
合,求函数y?y(x).
六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为
kr2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直
线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.
七、（本题满分6分） ?100?已知AP?BP,其中B???000??100?
,P??2?10?,求A,A5. ?1????00?????211??
八、（本题满分8分）
?200?已知矩阵A???001??200?与B??0y0?相似. ?????01x????00?1??(1)求x与y. (2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.
九、（本题满分9分）
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有
f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与两
直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的
3倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验
中出现的概率是____________.
(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.
(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
?(x)??x??1e2??u22du,?(2.5)?0.9938,
则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度函数为
fX(x)?1,求随2?(1?x)机变量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)= _____________. h?02h(2)设
f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则
f(x)=_____________.
(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分
?(x2L?y2)ds=_____________.
(4)向量场divu在点
P(1,1,0)处的散度
divu=_____________.
?300?(5)设矩阵A???140??100?,I??010?,则矩阵????003?????001??(A?2I)?1=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当x?0时,曲线y?xsin1x
(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线
(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平
面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是
(A)(1,?1,2) (B)(?1,1,2)
(C)(1,1,2) (D)(?1,?1,2) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是
(A)c1y1?c2y2?y3 (B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3
(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3 (D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3