(A)等于2 (B)等于0 (C)为? (D)不存在但不为?
(2)级数??(?1)n(1?cosa)(常数a?0)
n?1n(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关
(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面
x?2y?z?4平行的切线
(A)只有1条 (B)只有2条
(C)至少有3条 (D)不存在
(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (B)1
(C)2 (D)3
?1?(5)要使ξ1???0??0??,ξ2???1??都是线性方程组AX?0的解,??2?????1??只要系数矩阵A为
(A)??212? (B)??20?1?011?
??(C)???102??01?1?
??01?1?
(D)??4?2?2? ???011??
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?0
1?1?x2. (2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,
求?2z?x?y. (3)设1?x23f(x)? x?0,求?1f(x?2)dx. e?xx?0
四、(本题满分6分)
求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
五、(本题满分8分) 计
算
曲
面
积
分
??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半
?球面z?a2?x2?y2的上侧.
六、（本题满分7分） 设
f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).
七、（本题满分8分）
在变力F??yzi??zxj??xyk?的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2a?y2z22b2?c2?1上第一卦限的点M(?,?,?),问
当?、?、?取何值时,力F?所做的功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:
(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?1??1??1??ξ???1??,ξ??ξ???1??1?2??2?,3??1????4??3???9?,又向量β???2?. ???3??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.
把答案填在题中横线上) (1)
P(A)?P(B)?P(C)?A已
11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,46知则事件
、B、C全不发生的概率为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学
期望E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数
1?(x)?2??表示,其中
?x??e?t22dt).
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x(2?11t)dt(x?0)的单调减少区间为
_____________.
(2)由曲线 3x2?2y2?12绕
轴旋转一周得到的旋转
z?0y面在点
(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为
_____________.
(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为
a?02??(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的值为
n?1_____________. (4)
设
数
量
场
u?lnx2?y2?z2,则
div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为
n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx20sin(t)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小
(C)高阶无穷小 (D)低价
无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
(A)?2?40cos2?d? (B)?4?40cos2?d?
(C)?2?40cos2?d?
(D)1?2?40(cos2?)2d?
(3)设有直线lx?11:1?y?5?2?z?81与l2: x?y?62y?z?3则l1与
l2的夹角为
(A)?6
(B)?4
(C)?3
(D)?2
(4)设曲线积分?xL[f(t)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则f(x)等于
(A)e?x?ex2
(B)ex?e?x2
(C)ex?e?x2?1
(D)ex??e?x12
?123?(5)已知Q???24t?,P为三阶非零矩阵,且满足?369????PQ?0,则
(A)t?6时P的秩必为1 (B)t?6时
P的秩必为2
(C)t?6时P的秩必为1 (D)t?6时
P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sin2x??x?cos1x)x.
(2)求?xexex?1dx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的
特解.
四、(本题满分6分)
计算???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中
?是由曲面
?z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
求级数??(?1)n(n2?n?1)的和. n?02n
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在
[0,??)上函数
f(x)有连续导数,且
f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一个零
点.
(2)设b?a?e,证明ab?ba.