七、（本题满分8分） 已知二次型
f(xx221,x2,3)?2x21?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通
过正交变换化成标准形f?y22?5y21?2y23,求参数a及所用
的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.
把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两
次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量
X的概率分布密度为
f(x)?12e?x,???x???. (1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
把答案填在题中横线上) (1)limcot?(11x?0sinx?x)= _____________.
(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设
u?e?xsinxy,则?2u?x?y在点(2,1?)处的值为
_____________.
(4)
设
区
域
D
为
x2?y2?R2,则
??x2(y22?2)dxdy=_____________. Dab(5)已知α?[1,2,3],β?[1,12,13],设A?α?β,其中α?是α的转
置,则An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)
设
???M??2sinx4?cosxdx,N??234?(sinx?cosx)dx,P?2?224?2?(xsin3x?cosx)dx,21?x??2则有
(A)N?P?M (B)M?P?N
(C)N?M?P
(D)P?M?N
(2)二元函数
f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数
fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的
(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件
(3)设常数
???0,且级数?a2n收敛,则级数
n?1??(?1)nann?1n2??
(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛 (D)收敛性与?有关 (4)limatanx?b(1?cosx)22x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a?c?0,则必有
(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c (D)a??4c (5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组
1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim1x?0cot?(sinx?1x)= _____________.
(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设
u?e?xsinx则?2uy,?x?y在点(2,1?)处的值为
_____________. (4)
设
区
域
D
为
x2?y2?R2,则
??x2y2(2?2)dxdy=_____________. Dab(5)已知α?[1,2,3],β?[1,12,13],设A?α?β,其中α?是α的转
置,则An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)
设
?M??sinx??24?cosxdx,N??234?(sinx?cosx)dx,P??23??(x2sinx?cos4x21?x2?)dx,2?2则有
(A)N?P?M (B)M?P?N
(C)N?M?P
(D)P?M?N
(2)二元函数
f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数
fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的
(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数
???0,且级数?a2n收敛,则级数
n?1??(?1)nann?1n2??
(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛 (D)收
敛性与?有关 (4)limatanx?b(1?cosx)x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a2?c2?0,则必有
(A)b?4d (B)b??4d
(C)a?4c (D)a??4c (5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
x?cos(t2) (1)设 y?tcos(t2)??t21cosudu,求dydx、d2y?dx2在t?12u2的值.
(2)将函数f(x)?14ln1?x1?x?12arctanx?x展开成x的幂级数.
(3)求?dxsin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分??xdydz?z2dxdyx2?y2?z2,其中
S是由曲面
Sx2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)两平面所围成立体表面的
外侧.
五、(本题满分9分) 设
f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且
[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求
f(x)及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且
limf(x)?x?0x?0,证明级数?f(1)绝对收敛. n?1n
七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段
AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面
z?0,z?1所围成的立体体积.
八、（本题满分8分）
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为
k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.