2?2?段的弧长为：s??r?(t)dt??002a1?costdt?8a．
2．求曲线x?tsint,y?tcost,z?tet在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解 由题意知 r?(t)??sint?tcost,cost?tsint,et?tet?， r??(t)??2cost?tsint,?2sint?tcost,2et?tet?，
在原点，有 r?(0)?(0,1,1),r??(0)?(2,0,2)， 又 ??r?(r??r?)r???(r??r??)r?r??r??, ??，??， r?r??r??r??r??r??22666333,),??(,?,),??(,,?). 22366333所以有??(0,3．圆柱螺线为r(t)??acost,asint,bt?，
①求基本向量?,?,?； ②求曲率k和挠率?.
解 ①r?(t)???asint,acost,b?，r??(t)???acost,?asint,0?，
又由公式?????1a?b2r?(r??r?)r???(r??r??)r?r??r??, ??,?? ????????rr?r?rr?r?1a?b22??asint,acost,b?,????cost,?sint,0?,?2r??r??r?3?bsint,?bcost,a?
②由一般参数的曲率公式k(t)?有k?ab??，.
a2?b2a2?b2及挠率公式?(t)?(r?,r??,r???) 2r??r??4．求正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的切平面和法线方程． 解 ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,b?，切平面方程为
x?ucosvcosv?usinvy?usinvsinvucosvz?bv0b?0，
?bsinv?x?bcosu?y?uz?buv?0,
法线方程为
x?ucosvy?usinvz?bv??．
bsinv?bcosvu5．求球面r(?,?)??acos?cos?,acos?sin?,asin??上任一点处的切平面与法线方程． 解 r????asin?cos?,?asin?sin?,acos??， r????acos?sin?,acos?cos?,0?，
e1r??r???asin?cos??acos?sin?e2?asin?sin?acos?cos?e3acos? 0 6
?a2cos???cos?cos?,?cos?sin?,?sin??
? 球面上任意点的切平面方程为
?x?acos?cos?,y?acos?sin?,z?asin???a2cos???cos?cos?,?cos?sin?,?sin???0,
即cos?cos??x?cos?sin??y?sin??z?a?0， 法线方程为
(x?acos?cos?,y?acos?sin?,z?asin?)???a2cos?(?cos?cos?,?cos?sin?,?sin?),
即
x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin?． ??cos?cos?cos?sin?sin?6．求圆柱螺线x?acost,y?asint,z?t在点(a,0,0)处的密切平面. 解 r?(t)??{asinta,cotsr??,(t)??{aco?st,asitn ,所以曲线在原点的密切平面的方程为
x?a?asint?acosty?0acost?asintz?01=0， 0即(sint)x?(cost)y?az?asint?0.
7．求旋转抛物面z?a(x2?y2)的第一基本形式．
解 参数表示为r(x,y)??x,y,a(x2?y2)?，rx??1,0,2ax?，ry??0,1,2ay?，
E?rx?rx?1?4a2x2，F?rx?ry?4a2xy，G?ry?ry?1?4a2y2，
?I(dx,dy)?(1?4a2x2)dx2?8a2xydxdy?(1?4a2y2)dy2． 8．求正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一基本形式． 解 ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,b?，
E?ru?ru?1，F?ru?rv?0，G?rv?rv?u2?b2，?I(du,dv)?du2?(u2?b2)dv2． 9．计算正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一、第二基本量． 解 ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,b?，
ruu??0,0,0?，ruv???sinv,cosv,0?，rvv???ucosv,?usinv,0?， ijkru?rv?cosvsinv0??bsinv,?bcosv,u?，
?usinvucosvbn?ru?rv?bsinv,?bcosv,u?， ?22ru?rvb?ubb?u22E?ru?ru?1，F?ru?rv?0，G?rv?rv?u2?b2， L?ruu?n?0，M?ruv?n??，N?rvv?n?0．
7
10．计算抛物面z?x2?y2的高斯曲率和平均曲率． 解 设抛物面的参数表示为r(x,y)??x,y,x2?y2?，则
rx??1,0,2x?，ry??0,1,2y?，rxx??0,0,2?，rxy?ryx??0,0,0?，ryy??0，0，2?， ijkrx?ry?102x???2x,?2y,1?，
012yn?rx?ry2y,1?|r???2x,?x?ry|4x2?4y2?1，
E?rx?rx?1?4x2， F?rx?ry?4xy， G?ry?ry?1?4y2，
L?rxx?n?24x2?4y2， ?1M?rxy?n?0， N?ryy?n?2，4x2?4y2?14K?LN?M24x2?4y2??04EG?F2?1(1?4x2)(1?4y2)?(4xy)2?(4x2?4y2?1)2，
H?1GL?2FM?EN4x2?4y2?2?EG?F2?23． (4x2?4y2?1)211. 计算正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,av?的高斯曲率. 解 直接计算知
E?1，F?0，G?u2?a2，L?0，M??au2?a2，N?0，
?K?LN?M2a2EG?F2??(u2?a2)2． 12. 求曲面z?xy2的渐近线.
解 z?xy2，则p??z??x?y2，q??z2?y?2xy，r?z?2z?x2?0，s??x?y?2y， 所以，L=0， M?2y1?y4?4x2y2，N?2x1?y4?4x2y2
渐近线微分方程为
4ydxdy?2x1?y4?4x2y21?y4?4x2y2dy2?0，
化简得dy(2ydx?xdy)?0， dy?0或2yd?xxd?y0
渐近线为y=C1，x2y=C2
13. 求螺旋面r??ucosv,usinv,bv?上的曲率线. 解 ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}
8
t??2z?y2?2x
2 E?ur2?1,F?ur?vr?0,?Gv2r?2 u?b,n?ru?rv?bsinv,?bcosv,u??bsinv,?bcosv,u? ??22ru?rv?bsinv,?bcosv,u?b?u?bu?b22ruu=?0,0,0?,ruv=??sinv,cosv,0?,rvv???ucosv,?usinv,0?，L?0,M?曲率线的微分方程为:
dv210?dudv0?bu?b22,N?0
du2u2?b2=0 或dv??01u?b22du
积分得两族曲率线方程:
v?ln(u?u2?b2)?c1和v?ln(u2?b2?u)?c2.
14. 求马鞍面r?{u,v,u2?v2}在原点处沿任意方向的法曲率. 解 ru?{1,0u,2rv}?,， {?0v,1,E?ru2?1?4u2,F?rurv??4uv,G?1?4v2 Ⅰ?(1?4u2)du2?8uvdudv?(1?4v2)dv2 n???2u,2v,1?， ru?rv?ru?rv4u2?4v2?124u?4v?1222L?nruu?,M?nruv?0, N?nrvv??24u?4v?1222
（du2?dv2)22Ⅱ1?4u?4v. Ⅱ?du?dv， kn==22222222Ⅰ(1?4u)du?8uvdudv?(1?4v)dv1?4u?4v1?4u?4v22215. 求抛物面z?a(x2?y2)在(0,0)点的主曲率. 解 曲面方程即r?{x,y,a(x2?y2)},
rx?{1,0,2ax},ry?{0,1,2ay}, E(0,0)=1,F(0,0)=0,G(0,0)=1,
rxx?{0,0,2a},rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2a}，L(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a, 代入主曲率公式，
2a?kN002a?kN?0，所以两主曲率分别为 k1?k2?2a .
16. 求曲面r?{u,v,u2?v2}在点(1,1)的主方向.
解 ru==?0,1,?2v, E?1?4u,F?4uv,G?1?4v ?1,0,2?urv,22 9
E(1,1)=5,F(1,1)=4,G(1,1)=5; L?24u+4v+122,M?0,N?24u+4v+122,
2L(1,1)?N(1,1)?,M(1,1)?0, 代入主方向方程，得(du?dv)(du?dv)?0,
3即在点(1,1)主方向du:dv??1:1;?u:?v?1:1.
17. 求曲面r(u,v)?{u,v,u2?v3}上的椭圆点，双曲点和抛物点． 解 由r?{u,v,u2?v3}, 得ru=?1,0,2u?,rv=?0,1,3v2?,
ruu=?0,0,2?,ruv=?0,0,0?,rvv=?0,0,6v?, L?LN?M2?12v. 244u+9v+124u+9v+124,M?0,N?6v4u+9v+124,
①v>0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v=0时，是抛物点. 18. 求曲面r(u,v)?{v3,u2,u?v}上的抛物点的轨迹方程． 解 由r(u,v)?{v3,u2,u?v}, 得ru=?0,2u,1?,rv=?3v2,0,1?,
ruu=?0,2,0?,ruv=?0,0,0?,rvv=?6v,0,0?, L?令LN?M?26v2EG-F2,M?0,N?12uvEG-F2,
72uv3EG-F2=0. 得u=0 或v=0
所以抛物点的轨迹方程为 r=?v3,0,v?或r=?0,u2,u?. 19.求圆柱螺线r(t)?{acost,asint,bt}自然参数表示.
解 由r(t)?{acost,asint,bt},得r??{-asint,acost,b}， r?(t)?a2+b2, 弧长s(t)??t0a2+b2dt=a2+b2t,t?sa+bsa+b2222, ,asinsa+b22曲线的自然参数表示为r(s)?{acos 20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.
,bsa+b22}.
解 设挠曲线为a=a(s),则主法线曲面为：r=a(s)+v?(s), 则a?=a=?,b?=?=-k????,a?b?=?k,b?2=k2+?2, 所以腰曲线是r=a(s)-a?b?k?(s)=a(s)+?(s) 222k+?b?21．求位于正螺面x?ucosv,y?usinv,z?av上的圆柱螺线x?u0cosv,y?u0sinv,z?av（u0=常数）的测地曲率．
解 因为正螺面的第一基本形式为Ι?du2?(u2?a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线u?u0，
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