由???2得
d?Guu?0．由正交网的坐标曲线的测地曲率得kg??202． ds2GEu0?a五、证明题
1. 设曲线：r?r(s),证明：⑴k??-???;⑵(r,r,r)=k2?. 证明 ⑴由伏雷内公式，得?=k?，?=-??,
两式作点积，得???=-?k???=-?k,
?k?=-???.
⑵r=?，r=?=k?, r=k?+k?=k?+k(-k?+??)=-k2?+k?+k??
?(r,r,r)=(?,k?,-k2?+k?+k??)=(?,k?,k??)=k2?. 2. 设曲线：r?r(s), 证明：(r,r,r)=k3(k?-?k). 证明 由伏雷内公式，得
r=k?+k?=k?+k(-k?+??)=-k2?+k?+k?? r=?=k?，r=-3kk?+(-k3+k-k?2)?+(2k?+k?)?
(r,r,r)=(k??(-k2?+k?+k??))(-3kk?+(-k3+k-k?2)?+(2k?+k?)?)
=(k3?+k2??)(-3kk?+(-k3+k-k?2)?+(2k?+k?)?)=-3k3k?+2k3k?+k4?=k3(k?-?k)
3. 曲线??r?r(s)是一般螺线，证明?:r1?R????ds也是一般螺线（R是曲线?的曲率半径）．
????d，证明 r1?R s两边关于s微商，得
ds11?R??R????R??R????R?， dsR?1由于Γ是一般螺线，所以?也是一般螺线. ??1?，4. 证明曲线r(t)?{a?sin?(t)dt,a?cos?(t)dt,bt}(a,b是常数）是一般螺线．
int()a,?cots( b)证明 r?(t)?{as?r??(t)?{a??(t)cos?(t),?a??(t)sin?(t),0},
r???(t)?a???(t){cos?(t),?sin?(t),0}?a??(t)2{?sin?(t)，cos?(t),0}
r??r???a??(t)a2?b2,(r?,r??,r???)??a2b??(t)，
3k??kr??r??r???3r?,r??,r?????ba??2?(t),??????(t), 222a?b2a?br??r???5．曲面S上一条曲线(C), P是曲线(C)上的正常点，k,kn,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2．
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a . b证明 测地曲率kg?k????k??(n??)?k(?,?,n)?k??n??ksin?. (?是主法向量?与法向量
n的夹角)
法曲率kn?k??n?kcos?，
?k2=kn2+kg2.
6. 证明曲线r??etcost,etsint,0?的切向量与曲线的位置向量成定角．
证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为r??etcost,etsint,0?，该点切线的切向量为：
r???et(cost?sint),et(sint?cost),0?，则有：
r?r?e2t2?，故夹角为. cos????tt4rr?22e?e由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角． 7．证明：若r?和r??对一切t线性相关，则曲线是直线．
证明 若r?和r??对一切t线性相关，则存在不同时为0的f(t),g(t)使
f(t)r?(t)?g(t)r??(t)?0， 则 ?t,r?(t)?r??(t)?0, 又k(t)?r??r??r?3，故?t有k(t)?0.于是该曲线是直线．
8． 证明圆柱螺线x?acost,y?asint,z?bt的主法线和z轴垂直相交． 证明 由题意有
r?(t)???asint,acost,b?,r??(t)???acost,?asint,0?， 由??(r??r?)r???(r??r??)r?知????cost,?sint,0?.
r??r??r??另一方面z轴的方向向量为a??0,0,1?，而a???0，故a??，即主法线与z轴垂直． 9．证明曲线x?asin2t,y?asintcost,z?acost的所有法平面皆通过坐标原点． 证明 由题意可得r?(t)??asin2t,acos2t,?asint?，则任意点的法平面为
asin2t0(x?asin2t0)?acos2t0(y?asint0cost0)?asint0(z?acost0)?0将点（0,0,0）代入上述方程有
左边?asin2t0(0?asin2t0)?acos2t0(0?asint0cost0)?asint0(0?acost0)?0?右边， 故结论成立．
10．证明曲线x?1?3t+2t2,y?2?2t?5t2,z?1?t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 r??1?3t+2t2,2?2t?5t2,1?t2?，r???3+4t,?2?10t,?2t?，
r????4,10,?2?，r?????0,0,0?(r?,r??,r???)?0,
??0，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面
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r?(0)??3,?2,0?， r??(0)??4,10,?2?
x－1y－2z－1密切平面方程为34?2100?0， ?2化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z–27＝0.
11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.
证明 设曲线方程r?r(s)，定点的向径为R0，则
r(s)?R0??(s)?
两边求微商，得???(s)???(s)???(s)???(s)k?
?1??＝0 (1??(s))???(s)k??0 由于?,?线性无关，∴?k?＝0?∴ k＝0曲线是直线.
12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线. 证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 r?r(t)，
则曲面在任一点的密切平面方程为 (??r(t),r?(t),r??(t))?0 因任一点的密切平面过定点，所以
??(o?r(t),r?(t),r??(t))?0, 即 (r(t),?r(t)r,?t() )
所以 r?r(t)平行于固定平面， 所以 r?r(t)是平面曲线.
? 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.
证明 根据已知条件，得??e?0.............①，
①两边求导，得 ??e?0，由伏雷内公式得 k??e?0， ⅰ)k?0，则曲线是直线； ⅱ)??e?0 又有①可知 ?‖e 因e是常向量，所以?是常向量，
于是 |??|?|?| 0 ,所以??0 ，所以曲线为平面曲线.
14. 设在两条挠曲线?,?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平
行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行. 证明 ?１＝??２ , ?１＝??２ds2 ds1ds2??1=??2 进而?1???2 ds1由伏雷内公式得?１?1＝??２?２15. 证明挠曲线（??0）的主法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为r?r(s)，则挠率??0，
其主法线曲面的方程是：??r(s)?t?(s) 取a?r(s),b??(s)，则
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a???(s),b???(s)??k?＋??
所以, (a?,b,b?)?(?(s),?(s),?k?＋??)?(?(s),?(s),?k?)＋(?(s),?(s),??)＝??0 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线（??0）的副法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为r?r(s)，则挠率??0，
其副法线曲面的方程是：??r(s)?t?(s) 取a?r(s),b??(s)，则a???(s),b???(s)????
所以, (a?,b,b?)?(?(s),?(s),???)???0，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.
17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证明 设曲线r＝r(s),则曲线的主法线曲面为r=r(s)+v?(s)
rs=?+（v-k????）=(1-vk)??v??, rv=?(s),n=rs?rv（1-vk）?-v?? =, 沿曲线（v＝0）n=?，22rs?rv（1-vk）?（v?）所以主法向量与曲面的法向量夹角???2,kn?kcos??0,
所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.
18. 证明二次锥面r?{aucos?,busin?,cu}沿每一条直母线只有一个切平面. 证明 r?{auco? s,bus?inc,?u}ua{?cosb?,s?icn?,?}为直纹面?u (0,?(?),??(?)）?0,
所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.
也可以用高斯曲率K=0证明.
19. 给出曲面上一条曲率线?，设?上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，
求证?是一平面曲线.
证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角?0，则ｎ?＝cos?0
两边求微商，得 ｎ?＋ｎ?＝0
由于曲线?是曲率线，所以ｎ?，进而ｎ?＝0，由伏雷内公式得－?ｎ?＝0 ⑴?＝0时，?是一平面曲线
⑵n?＝0，即n??，kn?kcos?=0，
又因为?是曲率线，所以dn??kndr?0即n是常向量，所以?是平面曲线. 20．求证正螺面上的坐标曲线（即u?曲线族v?曲线族）互相垂直． 证明 设正螺面的参数表示是r(u,v)??ucosv,usinv,bv?，则
ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,b?，
?ru?rv??cosv,sinv,0????usinv,ucosv,b??0，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．
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21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式kn?k1cos2??k2sin2?
k*n?k1cos2?（??）+k2sin2?（??）
22???k1sin2?+k2cos2?
所以kn?k*n?k1?k2＝常数.
22. 如果曲面上非直线的测地线?均为平面曲线，则?必是曲率线. 证明 因为曲线?是非直线的测地线，所以沿此曲线有n???,
从而n??(??????),又因为曲线是平面曲线，所以??0,
进一步n????.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面z?f(x)?f(y)上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网.
证明 曲面的向量表示为 r(x,y)??x,y,f(x)?f(y)?,x=常数,y=常数是两族坐标曲线.
rx?{1,0,f?},ry?{0,1,g?}.
rxx?{0,0,f??},rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,g??}, 因为M?rxy?rx?ryEG?F2?0,所以坐标曲线构成共轭网，
即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网. 24．证明马鞍面z?xy上所有点都是双曲点． 证明 参数表示为r(x,y)??x,y,xy?，则
rx??1,0,y?，ry??0,1,x?，rxx??0,0,0?，rxy??0,0,1?，ryy??0,0,0?， rx?ry???y,?x,1?，n?rx?ry|rx?ry|???y,?x,1?x?y?122，
L?rxx?n?0， M?rxy?n??LN?M2?0?0?1x?y?122，N?ryy?n?0，
11???0，
x2?y2?1x2?y2?1II(du,dv)与方向无关，则称该点是曲
I(du,dv)故马鞍面z?xy上所有点都是双曲点．
25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即
面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为
r(u,v)??Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv?，则
ru???Rcosvsinu,Rcosvcosu,0?，rv???Rsinvcosu,?Rsinvsinu,Rcosv?， ruu???Rcosvcosu,?Rcosvsinu,0?，ruv?rvu??Rsinvsinu,?Rsinvcosu,0?，
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