rvv???Rcosvcosu,?Rcosvsinu,?Rsinv?，
E?ru?ru?R2cos2v，F?ru?rv?0，G?rv?rv?R2， L?(ru,rv,ruu)EG?F2??Rcos2v，M?(ru,rv,ruv)EG?F2?0，N?(ru,rv,rvv)EG?F2??R，
?(L,M,N)??1(E,F,G)，故球面是全脐的． R26．证明平面是全脐的．
证明 设平面的参数表示为r(x,y)??x,y,0?，则
rx??1,0,0?，ry??0,1,0?，rxx??0,0,0?，rxy??0,0,0?，ryy??0,0,0?， E?rx?rx?1，F?rx?ry?0，G?ry?ry?1， L?rxx?n?0，M?rxy?n?0，N?ryy?n?0
?(L,M,N)?0(E,F,G)，故平面是全脐的．
27．证明曲面x?y?z3的所有点为抛物点．
证明 曲面的参数表示为r(x,y)??x,y,(x?y)1/3?，则
?2/3rx??1,0,1?， ry?0,1,13(x?y)?2/3， 3(x?y)?5/3rxx??0,0,?2?，rxy?0,0,?92(x?y)?5/3， ryy?0,0,?92(x?y)?5/3， 3(x?y)???????2/3?2/3rx?ry???1,?1,1?， n?3(x?y)3(x?y)rx?ry|rx?ry|，
22(x?y)?5/3?n， L?rxx?n??0,0,?9(x?y)?5/3??n，M?rxy?n?0,0,?92N?ryy?n??0,0,?9(x?y)?5/3??n ?LN?M2?0，
???曲面x?y?z3的所有点为抛物点．
28．求证正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,av?是极小曲面． 证明 ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,a?，
ruu??0,0,0?，ruv???sinv,cosv,0?，rvv???ucosv,?usinv,0?， ijkru?rv?cosvsinv0??asinv,?acosv,u?，
?usinvucosvaasinv,?acosv,u??ru?rv， n??22|ru?rv|a?uE?ru?ru?1，F?ru?rv?0，G?rv?rv?a2?u2， L?ruu?n?0，M?ruv?n??aa?u22，N?rvv?n?0，
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1EN?2FM?GL1?H????22EG?F21?0?2?0?(?aa2?u21?(a2?u2)?02)?(a2?u2)?0?0,故正螺面是极小曲面．
29. 圆柱面r?{acosu,asinu,v}上的纬线是测地线． 证明 由r?{acosu,asinu,v},
ru?{-asinu,acosu,0}，rv?{0,0,1}，EvGud??cos??sin?， 纬线是u-线，此时??0或?，?ds2EG2GEE?a2,F?0,G?1.kg??kg?0. 所以，纬线是测地线．
30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明 H?k1?k2?0， ?k1??k2， ?K?k1?k2??k22?0 2当K?0时，k1?k2?0， ?极小曲面的点都是平点； 当K?0时，极小曲面的点都是双曲点．
31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；
(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.
证明 (1) 因为曲线是测地线，所以kg?0， 曲线又是渐近线，所以，kn?0，
22而k2?kn 所以k=0，故所给曲线是直线. ?kg，(2) 证法1
因曲线是测地线，所以沿此曲线有n?，所以?dn， 又曲线是曲率线，所以dndr?，
所以(?k????)?，所以??0，故所给曲线是平面曲线. 证法2
因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n?,n?, 而?????，所以?????n,从而???(??n???n)??(?k??n?0)?0， 又?????，所以??0，故所给曲线是平面曲线.
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