复变函数测验题
12．函数sinz，在z???2处的泰勒展开式为( )
(?1)n?（A）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!(?1)n?（B）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)
(z??2???)
(?1)n?1?（C）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!?(z??2???)
(?1)n?1?（D）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)
?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为
n????cn(z?z0)n，c为H内
绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么
f(z)?c(z?z0)2dz?( )
(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0)
??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14．若cn??，则双边幂级数的收敛域为( ) cz?nn4,n??1,?2,?n????（A）
11?z? （B）3?z?4 4311?z??? （D）?z??? 43（C）
15．设函数f(z)?1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么
z(z?1)(z?4)m?( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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复变函数测验题
二、填空题 1．若幂级数
?cn?0n?n(z?i)n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性
为 ． 2．设幂级数
?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关
n?0?系是 ． 3．幂级数
?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z?z0?d时，f(z)??cn?0?n(z?z0)n成立，其中cn? ．
5．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数
?cn?0?nz的收敛半径为R，那么幂级数
n?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径
为 ．
?1znn7．双边幂级数?(?1)?(?1)(1?)的收敛域为 ． ?22(z?2)n?1n?1n1z?8．函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 ． 9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? ． 10．函数
zn????c?nzn，那么该洛朗级数
1在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．
z(z?i) 17
复变函数测验题
?1nz?0三、若函数在处的泰勒展开式为，则称?an?为菲波那契(Fibonacci)数az?n21?z?zn?0列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式．
四、试证明 1．e?1?ezz?1?zez(z???);
(z?1);
z2．(3?e)z?e?1?(e?1)z
五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11．Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1(??z)??r?(z?r?R).
zn?1?Sn(z)?2．f(z）2?i
(z?r?R)。
n2六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n之值.
n?1n?12?2n?
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复变函数测验题
七、设f(z)???an?0?nz(z?R),g(z)?bz(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在?n1nnn?0?z?rR2内?anbnzn?n?012?i??r?zd?。 f(?)g()??
八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z2???anzn??
1试证当0?r?R时
2?
九、将函数
?2?0f(re)d???anr2n.
i?n?02?2ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.
z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立：
z?1ze11?c0??cn(z?n)其中cn??zn?1n???0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).
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复变函数测验题
第五章 留 数
一、选择题： 1．函数
cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )
2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )
（A）可去奇点 （B）本性奇点
（C）m级极点 （D）小于m级的极点 3．设z?0为函数
1?e的m级极点，那么m?( ) 4zsinzx2（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点
3?2z?z35．z??是函数的( )
z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) kz（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么Res[f?(z),a]?( ) f(z)(A)m （B）?m （C） m?1 （D）?(m?1) 8．在下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（ ）
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