复变函数测验题
ez?1sinz1（A） f(z)? （B）f(z)??
zzz2（C）f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9．下列命题中，正确的是( ) （A） 设f(z)?(z?z0)极点．
（B） 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C） 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D） 若
?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级
?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点
c10． Res[zcos32i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i
333321z?i11．Res[ze（A）?,i]? ( )
1515?i （B）??i （C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )
（A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0 （B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[（C）若
P(z0)P(z) ,z0]?Q(z)Q?(z0)z0为
f(z)的m级极点，n?m为自然数，则
1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]
n!x?x0dz
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复变函数测验题
（D）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且
1z1Res[f(z),?]?limzf()
z?0z13．设n?1为正整数，则
1dz?( ) ?nz?2z?12?i （D）2n?i n(A)0 （B）2?i （C）
z914．积分?10dz?( )
z?13z?2（A）0 （B）2?i （C）10 （D）
?i 515．积分
12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?
二、填空题
?i1 （C）? （D）??i
36331．设z?0为函数z?sinz的m级零点，那么m? ．
2．函数f(z)?1cos1z在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数
Res[f(z),zk]? ．
3．设函数f(z)?exp{z?21}，则Res[f(z),0]? 2z 22
复变函数测验题
4．设z?a为函数f(z)的m级极点，那么Res[f?(z),a]? ． f(z)5．双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? ． 1?z27．设f(z)?1?cosz，则Res[f(z),0]? ． z5edz? ．
1z8．积分
z?1?z39．积分
1dz? ． ?sinzz?1??xeixdx? ． 10．积分???1?x2
三、计算积分
z?zsinz?1(ez?1?z)2dz．
4
四、利用留数计算积分
五、利用留数计算积分
??0d?a2?sin2?(a?0)
?????x2?x?2dx
x4?10x2?9
六、利用留数计算下列积分： １．
???0??cos(x?1)xsinxcos2xdx ２．?dx
??x2?1x2?1 23
复变函数测验题
七、设a为f(z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f(z)的m级极点的充要条件是
lim(z?a)mf(z)?b，其中b?0为有限数．
z?a
八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res[f(z),a]?Res[f(z),?a]；若f(z)是偶函数，则Res[f(z),a]??Res[f(z),?a]．
九、设f(z)以a为简单极点，且在a处的留数为A，证明limz?af?(z)21?f(z)?1. A
十、若函数?(z)在z?1上解析，当z为实数时，?(z)取实数而且?(0)?0，f(x,y)表示
?(x?iy)的虚部，试证明?2?0tsin?f(cos?,sin?)d????(t) 21?2tcos??t(?1?t?1)
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复变函数测验题
第一章 复数与复变函数
一、1．（B） 2．（A） 3．（D） 4．（C） ５．（B）
６．（A） ７．（D） ８．（B） ９．（D） 10．（C） 11．（B） 12．（C） 13．（D） 14．（C） 15．（A）
二、1．2 2．??arctan8 3．?1?2i 4．e16?i 5．33
x2y2??1） ７．x2?y2?1 ６．z?2?z?2?5（或 53()2()222()? ８．?1?2i,2?i ９．Rew1 10．?7?2i 2． 5?2）
三、[5?2,5?2]（或5?2?z?2?四、当0?a?1时解为?(1?1?a)i或?(1?a?1)
当1?a???时解为?(1?a?1).
17?u?cos??u2v22??1. 六、像的参数方程为?0???2?．表示w平面上的椭圆151715?v?sin?()2()22?22十、1．f(z)在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；
2．f(z)在复平面处处连续.
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