∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAB=∠DAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN， ∵OC为半径， ∴MN是⊙O切线； （2）∵CD=6，cos∠ACD==， ∴AC=10，由勾股定理得：AD=8， ∵AB是⊙O直径，AD⊥MN， ∴∠ACB=∠ADC=90°， ∵∠DAC=∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴=∴=， ， ∴AB=12.5， ∴⊙O半径是×12.5=6.25． 点评： 本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 27．（12分）（2013?淮安）甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路ι步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟．y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2．
（1）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式； （3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值．
考点： 一次函数的应用． 分析： （1）设小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式； （2）先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的时间，就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式； （3）先根据相遇问题建立方程就可以求出a值，10分钟甲、乙走的路程就是相距的距离，14分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象． 解答： 解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中y（与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x+b，1米）由图象，得 ， 解得：， ∴y1=﹣200x+2000； （2）由题意，得 小明的速度为：2000÷40=50米/分， 小亮的速度为：2000÷10=200米/分， ∴小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷（200﹣50）=8分钟， ∴24分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，32分钟时S=0， 设S与x之间的函数关系式为：S=kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴S=﹣150x+4800； （3）由题意，得 a=2000÷（200+50）=8分钟， 当x=24时，S=1200 当x=32时，S=0． 故描出相应的点就可以补全图象． 如图： 点评： 本题时一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，追击问题与相遇问题在实际问题中的运用，描点法画函数图象的运用，解答时灵活运用路程、速度、时间之间的数量关系是关键． 28．（12分）（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
（1）当ι= 7 时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
考点： 相似形综合题． 分析： （1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得； （2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值； （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解． 解答： 解：（1）在直角△ABC中，AC==4， 则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5． 根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7． （2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒． 则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1． 当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC， 在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=∵PC=BC﹣BP=3﹣t， ∴×（2t﹣4）=3﹣t， 解得：t=； ． （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t． 同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t）， 故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t+10t﹣2）． 故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）． ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， ∴PD一定是AC的中垂线． 则AP=AC=2，PD=BC=， 则S△APD=AP?PD=×2×=． AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4． 则PC边上的高是：AQ=×4=则S△PCQ=PC?故答案是：7． =×2×=． ． 2 点评： 本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．